Акружнасць

Акру́жнасць, акру́жына — замкнёная плоская крывая, якая складаецца з усіх пунктаў на плоскасці, роўнааддаленых ад дадзенага пункта. Гэты пункт называецца цэнтрам акружнасці. Адрэзак, які злучае цэнтр акружнасці з якім-небудзь пунктам на акружнасці, называецца радыусам; радыусам таксама завецца і даўжыня гэтага адрэзка. Унутраная частка плоскасці, абмежаваная акружнасцю, называецца кругам. У залежнасці ад падыходу круг можа ўключаць межавыя пункты (якія з’яўляюцца самой акружнасцю) ці не ўключаць іх.

Акружнасць (с), цэнтр акружнасці (М), дыяметр (d), радыус (r)

Практычная пабудова акружнасці выконваецца пры дапамозе цыркуля. Акружнасць нулявога радыуса (выраджаная акружнасць) з’яўляецца пунктам, далей гэты выпадак не будзе разглядацца, калі не сказана іншае.

Акружнасць з’яўляецца адзінкавай, калі яе радыус роўны адзінцы. Адзінкавая акружнасць з’яўляецца адным з асноўных аб’ектаў трыганаметрыі.

Далей усюды літара $R$ пазначае радыус акружнасці.

Хорды, дугі і датычныя

Акружнасць разбівае сваю плоскасць на дзве часткі — канчатковую ўнутраную (круг) і бясконцую знешнюю, якая складаецца з усіх пунктаў плоскасці, аддаленых ад цэнтра больш чым на адлегласць $R$.

Хорда і дзве дугі (верхняя і ніжняя)

Прамая, якая перасякае акружнасць у двух розных пунктах, называецца сякучай. Адрэзак сякучай, які знаходзіцца ўнутры акружнасці, называецца хордай. Хорда, якая праходзіць праз цэнтр акружнасці, называецца дыяметрам; гэты ж тэрмін выкарыстоўваецца для яго даўжыні. Дыяметр па даўжыні роўны двум радыусам і падзяляе акружнасць і круг на дзве роўныя паміж сабой часткі і таму з’яўляецца воссю сіметрыі. Дыяметр большы за любую іншую хорду. Хорда разбівае круг на дзве часткі, якія называюцца сегментамі. Два розныя радыусы таксама разбіваюць круг на дзве часткі, якія называюцца сектарамі круга.

Любыя два несупадаючыя пункты акружнасці дзеляць яе на дзве часткі. Кожная з гэтых частак называецца дугой акружнасці. Дуга называецца паўакружнасцю, калі адрэзак, які злучае яе канцы, з’яўляецца дыяметрам.

Для зададзенай акружнасці маюць месца наступныя ўласцівасці:

• Хорды, роўнааддаленыя ад цэнтра, роўныя паміж сабой. Наадварот, калі дзве хорды роўныя па даўжыні, то яны аднолькава аддалены ад цэнтра.
• Роўным хордам адпавядаюць роўныя дугі, і наадварот.
• Пры перасячэнні дзвюх хорд здабытак даўжынь адрэзкаў адной хорды роўны здабытку даўжынь адрэзкаў другой хорды.

Датычная АВ, М — пункт дотыку

Прамая называецца датычнай, калі яна мае з акружнасцю толькі адзін агульны пункт. Адзіны агульны пункт прамой і акружнасці называецца пунктам дотыку прамой і акружнасці. Датычная да акружнасці заўсёды перпендыкулярная радыусу гэтай акружнасці, праведзенаму ў пункт дотыку. Гэта значыць, што радыус адначасова з’яўляецца і нармаллю да акружнасці.

Адрэзкі датычных да акружнасці, праведзеныя з аднаго пункта, які не знаходзіцца на акружнасці, роўныя і складаюць роўныя вуглы з прамой, якая праходзіць праз гэты пункт і цэнтр акружнасці.

Вуглы

Цэнтральны вугал (сіні) і ўпісаныя вуглы (чырвоныя)

Цэнтральны вугал — гэта вугал з вяршыняй у цэнтры акружнасці. Цэнтральны вугал можа быть прыняты як вуглавая мера дугі, на якую яна абапіраецца. Цэнтральны вугал, які ўтвараецца дугой акружнасці, якая па даўжыні роўная радыусу акружнасці, у матэматыцы выкарыстоўваецца ў якасці адзінкі вымярэння вуглоў і мае назву радыян. З ростам вугла значэнне яго радыяннай меры змяняецца ад 0 да $2\pi$.

З азначэння радыяна вынікае, што даўжыня $L$ любой дугі акружнасці звязана з цэнтральным вуглом $\theta$, які абапіраецца на гэту дугу, наступным чынам: $L=R\theta$. Даўжыня хорды, якая сцягвае тую ж дугу, роўная $2R\sin {\frac {\theta }{2}}$. Адсюль вынікае, што даўжыню ўсёй акружнасці можна вызначыць па формуле $C=2\pi R$.

Упісаны вугал — вугал, вершыня якога ляжыць на акружнасці, а стораны перасякаюць гэтую акружнасць.

Знешні вугал для ўпісанага вугла — вугал, створаны адной стараной і працягам другой стараны ўпісанага вугла (вугал $\theta$ карычневага колеру на малюнку). Знешні вугал для ўпісанага вугла роўны ўпісанаму вуглу, які абапіраецца на тую ж хорду з іншага боку.

Вугал паміж акружнасцю і прамой — вугал паміж сякучай прамой і адной з дзвюх датычных да акружнасці ў пункце перасячэння прамой і акружнасці.

BAC — вугал паміж дзвюма сякучымі

Уласцівасці ўпісаных вуглоў:

• Упісаны вугал альбо роўны палове цэнтральнага вугла, які абапіраецца на яго дугу, альбо дапаўняе палову гэтага ж вугла да 180°. Упісаны вугал, які абапіраецца на дугу даўжынёй у палову акружнасці, заўсёды прамы (роўны 90°).
• Упісаны вугал не мяняе сваёй велічыні пры перамяшчэнні яго вершыні ўздоўж акружнасці.
• Два ўпісаныя вуглы, якія абапіраюцца на адну і тую ж дугу, роўныя паміж сабой.

Іншыя ўласцівасці:

• Вугал паміж дзвюма сякучымі, якія праведзены з пункта па-за акружнасцю, роўны паўрознасці мер дуг, якія знаходзяцца паміж сякучымі.
• Вугал паміж дзвюма перасякаючыміся хордамі роўны паўсуме мер дуг, якія абапіраюцца на вертыкальныя вуглы.
• Вугал паміж датычнай і хордай, якія маюць агульны пункт, роўны палове меры дугі, якую сцягвае хорда.

Гл. таксама

• Упісаная акружнасць
• Апісаная акружнасць
• Акружнасць Апалонія
• Адзінкавая акружнасць
• Канічныя сячэнні
• Эліпс
• Каустыка
• Дуга