Дыскрымінант

Дыскрыміна́нт (лац.: discriminare — падзяляць, адрозніваць) або адро́знік мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча. Так, для мнагачлена

$P(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$

дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

$D(P)=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leq i<k\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{2},$

дзе $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}$ − карані мнагачлена P(x) (г.зн. рашэнні ўраўнення P(x) = 0) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага ураўнення P(x) = 0 вызначаюць як адрознік мнагачлена P(x).

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

Дыскрымінант квадратнага ўраўнення

Гл. таксама: Квадратны трохчлен

Гл. таксама: Квадратнае ўраўненне

Карані квадратнага ўраўнення

$ax^{2}+bx+c=0$

з рэчаіснымі каэфіцыентамі a, b і c можна вылічыць па формуле

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

$b^{2}-4ac$

называюць дыскрымінантам квадратнага ўраўнення

$ax^{2}+bx+c=0$

і абазначаюць праз D.

• Калі D > 0, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні $x_{1}$ і $x_{2}$.
• Калі D = 0, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
• Калі D < 0, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў $\mathbb {R}$. Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з'яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.

Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

Азначэнне ў агульным выпадку

Гл. таксама: Поле раскладання мнагачлена

Няхай $f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in R[x]$ − мнагачлен n-ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці R (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля). Няхай K ёсць поле раскладання мнагачлена $f$ (г.зн. у гэтым полі мнагачлен $f$ раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена вызначаюць як

$D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2},$

дзе $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ − карані мнагачлена $f$, якія ляжаць у полі K.

Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці R існуе поле раскладання. Так, поле дзелей Q колца R з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца R. І ў якасці поля раскладання K можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля Q.

Уласцівасці дыскрымінанта

Сувязь з рэзультантам

Гл. таксама: Рэзультант

Няхай поле K мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена $f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ над полем K можна вылічыць як рэзультант мнагачлена $f$ і яго вытворнай $f'$, падзелены на старшы каэфіцыент $a_{n}$:

$D(f)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(f,f').$

Адсюль вынікае тоеснасць

$D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{n-2}\prod _{i=1}^{n}f'(\alpha _{i}).$

Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагачлена

Гл. таксама: Матрыца Сільвестра

Рэзультант мнагачлена $f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ і яго вытворнай $f'(x)=na_{n}x^{n-1}+\dots +a_{1}$ роўны вызначніку пэўнай (2n − 1)×(2n − 1)-матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра). Таму, калі поле K мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

$D(f)={\frac {(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}}{a_{n}}}\,\det {\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&0&0&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0&0&\cdots &0\\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0\\0&0&0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\\\end{pmatrix}}.$

Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік $a_{n}$, які скароціцца.

Прыклады

• Адрознік квадратнага мнагачлена a x² + b x + c роўны

  $D=b^{2}-4ac.$

• Адрознік кубічнага мнагачлена a x³ + b x² + c x + d раўняецца

  $D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.$

• Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ роўны

  $D={\begin{vmatrix}1~&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0~&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0~&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\4~&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\0~&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\0~&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\0~&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}.$

Гл. таксама

• Рэзультант
• Дыскрымінант поля

Літаратура

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Polynomial Discriminant (нявызн.). MathWorld.