Квантавы гарманічны асцылятар

Лінейны гарманічны асцылятар — квантавая сістэма, патэнцыяльная энергія ў якой квадратычна залежыць ад каардынаты:

$U(x)={\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}.\qquad \qquad (1)$

Тут m — маса часціцы, а ω — уласная частата асцылятара.

На мал. 11.1 залежнасць (1) графічна намаляваная. Крывая U(x) сваёй крутасцю і бясконца вялікай вышынёй нагадвае патэнцыяльную яму. Ніжэй мы ўбачым, што лінейны асцылятар, сапраўды, праяўляе некаторыя ўласцівасці часціцы ў бясконца высокай патэнцыяльнай яме. Напрыклад, ён мае бясконцую колькасць дыскрэтных узроўняў. Але ў адрозненне ад вертыкальных сценак ямы, патэнцыял асцылятара расце плаўна, і, як вынік, паяўляецца некаторая імавернасць знайсці часціцу досыць далёка ад пачатку каардынат. Плаўная форма патэнцыялу дазваляе асцылятару пры пэўных умовах праяўляць уласцівасці класічнай (не квантавай) часціцы. Для гэтага дастаткова, каб даўжыня хвалі дэ Бройля была менш характэрных памераў вобласці змянення патэнцыялу. У выпадку патэнцыяльнай ямы, альбо патэнцыяльнага бар’ера, такая магчымасць цалкам выключана, бо там патэнцыял змяняецца скачком у адной кропцы. Пяройдзем да колькаснага рашэння задачы.

Напішам аднамернае ўраўненне Шродзінгера з патэнцыяльнай энергіяй (1):

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\right)\psi =0.\qquad \qquad (2)$

У яго няма натуральных межавых умоў. Дыскрэтныя ўзроўні энергіі атрымліваюцца як следства абмежаванасці хвалевай функцыі ψ.

Пераўтворым ураўненне (2): замест каардынаты x увядзём безразмерны аргумент

$y={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}\,x,\qquad \qquad (3)$

а замест E — безразмерную энергію асцылятара

$\epsilon ={\frac {2E}{\hbar \omega }}.\qquad \qquad (4)$

Лёгка пераканацца, што адваротная велічыня падкаранёвага выраза ў (3) роўная здабытку комптанаўскай даўжыні хвалі электрона ƛ_c і даўжыні хвалі ƛ = λ/(2π) = c/ω, якая адпавядае ўласнай частаце асцылятара. У новых абазначэннях ураўненне Шродзінгера прымае выгляд:

$\psi ''+(\epsilon -y^{2})\psi =0.\qquad \qquad (5)$

Літаратура

• Земцов Ю. К., Бычков К. В. Курс лекций по атомной физике.