Матэматычны маятнік

Матэматы́чны ма́ятнік — ідэалізаваная вагальная сістэма (асцылятар), якая ўяўляе сабой матэрыяльны пункт, які падвешаны на бязважкай нерасцяжной ніці (або стрыжні) і вагаецца ў вертыкальнай плоскасці пад дзеяннем сілы цяжару.

У рэальных умовах мадэллю матэматычнага маятніка добра апісваюцца малыя ваганні масіўнага (напрыклад, металічнага) шарыка, падвешанага на нітцы, даўжыня якой значна перавышае яго памеры.

Ваганні матэматычнага маятніка

Ваганні матэматычнага маятніка

Разглядаючы ваганні матэматычнага маятніка, адхіленне маятніка ад становішча раўнавагі будзем характарызаваць вуглом θ, які ўтварае нітка з вертыкаллю.

Пасля адхілення маятніка на яго дзейнічаюць дзве сілы: накіраваная вертыкальна ўніз сіла цяжару mg і накіраваная ўздоўж ніткі сіла пругкасці. Пад дзеяннем гэтых сіл цела рухаецца па дузе акружнасці да ўстойлівага становішча раўнавагі.

Пры гарманічных (малых) ваганнях перыяд Т матэматычнага маятніка не залежыць ад амплітуды ваганняў:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}},$

дзе L — даўжыня матэматычнага маятніка, g — паскарэнне свабоднага падзення. Выкарыстоўваецца ў прыладах для вызначэння паскарэння свабоднага падзення, ваганняў зямной кары і ў іншых гравіметрычных вымярэннях.

Ураўненне ваганняў

Ваганні матэматычнага маятніка апісваюцца звычайным дыферэнцыяльным ураўненнем віду

${\ddot {x}}+\omega ^{2}\ \sin {x}=0,$

дзе $\omega$ ― дадатная пастаянная, якая вызначаецца выключна параметрамі маятніка. Невядомая функцыя $x(t)$ ― гэта вугал адхілення маятніка ў момант $t$ ад ніжняга становішча раўнавагі, выражаны ў радыянах;

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}},$

дзе $L$ ― даўжыня падвеса, $g$ ― паскарэнне свабоднага падзення.

Ураўненне малых ваганняў маятніка каля ніжняга становішча раўнавагі (т. зв. гарманічнае ўраўненне) мае выгляд:

${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0.$

Гл. таксама

• Маятнік
• Фізічны маятнік

Літаратура

• Матэматычны маятнік // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. С. 214.
• Фізіка: вучэб. дапам для 11-га кл. устаноў агул. сярэд. адукацыі з беларус. мовай навучання / В. У. Жылко, Л. Р. Марковіч; пер. з рус. мовы Н. Г. Ляўчук. — 2-е выд., перагледж. і дап. — Мінск: Народная асвета, 2014. — 287 с.: іл. ISBN 978-985-03-2171-8