Мяжа Чандрасекара

Мяжа Чандрасекара — верхняя мяжа масы, пры якім зорка можа існаваць як белы карлік. Калі маса зоркі перавышае гэтую мяжу, то яна становіцца нейтроннай зоркай. Існаванне мяжы было даказана індыйскім астрафізікам Субраманьянам Чандрасекарам. У якасці значэння звычайна бярэцца 1,4 сонечных масы.

Строга кажучы, мяжа Чандрасекара — гэта верхняя мяжа масы халоднага белага карліка, вызначаная ўмовай роўнасці сіл ціску выраджанага электроннага газу і гравітацыі. Значэнне мяжы звычайна пазначаецца сімвалам ${\mathfrak {M}}_{Ch}$.

Эфекты выраджэння ў белых карліках

Мал. 1. Залежнасць ціску выраджанага газу ад тэмпературы, захаванні стану выраджэння адпавядае гарызантальная галіна.

Масы белых карлікаў складаюць парадку сонечнай, але памеры ў сотні разоў менш сонечных ($R\leq 0,01$), гэта значыць іх шчыльнасць надзвычай высокая і адзін кубічны сантыметр рэчыва белага карліка важыць многія тоны ($\rho \sim 10^{5}-10^{9}$ г/см³)! Пры такіх шчыльнасцях электронныя абалонкі атамаў руйнуюцца і рэчыва прадстаўляе сабой электронна-ядзерную плазму, прычым яе электронны складнік прадстаўляе сабой выраджаны электронны газ. Ціск P такога газу падпарадкоўваецца наступнай залежнасці:

$~P=K_{1}\rho ^{5/3}$

дзе $~K_{1}$ — канстанта, $~\rho$ — шчыльнасць газу, г. зн. у адрозненне ад ураўнення Клапейрона (ўраўнення стану ідэальнага газу), для выраджанага электроннага газу тэмпература ва ўраўненне стану не ўваходзіць — яго ціск ад тэмпературы пры захаванні стану выраджэння не залежыць (гл. Мал. 1).

Вышэйпрыведзенае ўраўненне стану праўдзівае для халоднага (нерэлятывісцкага) выраджанага электроннага газу. Тэмпература нават у некалькі мільёнаў градусаў малая ў параўнанні з характэрнай Фермі-энергіяй электронаў ($kT<<E_{F}$), таму газ заўсёды застаецца выраджаным нават пры значным росце тэмпературы. З ростам шчыльнасці рэчыва ў сілу прынцыпа Паўлі (два электроны не могуць знаходзіцца ў адным квантавым стане, г. зн. у стане з аднолькавым імпульсам і праекцыяй спіна) энергія і імпульс электронаў узрастаюць настолькі, што выраджаны электронны газ становіцца рэлятывісцкім. Залежнасць ціску $P$ рэлятывісцкага выраджанага электроннага газу ад шчыльнасці становіцца іншай:

$~P=K_{2}\rho ^{4/3}$.

Якасны разгляд

Мал. 2. Залежнасць маса-радыус для белых карлікаў. Вертыкальная асімптота адпавядае мяжы Чандрасекара.

Няхай сярэдняя шчыльнасць белага карліка $\rho \sim M/R^{3}$, дзе $M$ — маса, а $R$ — радыус белага карліка. Тады ціск $P\sim M^{4/3}/R^{4}$ і сіла ціску, процідзейная гравітацыі і роўная перападу ціску па глыбіні:

${P \over R}\sim {{M^{4/3}} \over {R^{5}}}$

Гравітацыйныя сілы, процідзейныя ціску:

${{\rho GM} \over {R^{2}}}\sim {{M^{2}} \over {R^{5}}}$,

г. зн., хоць перапад ціску і гравітацыйныя сілы аднолькава залежаць ад радыуса, але па рознаму залежаць ад масы — як ~$M^{4/3}$ і ~$M^{2}$ адпаведна. Следствам такіх суадносін залежнасцей з'яўляецца існаванне некаторага значэння масы зоркі, пры якой яны ўраўнаважваюцца, і, паколькі гравітацыйныя сілы залежаць ад масы мацней, чым перапад ціску, пры павелічэнні масы белага карліка яго радыус памяншаецца (гл. мал. 2). Іншым вынікам з'яўляецца тое, што калі маса перавышае нейкую мяжу, то зорка зкалапсуе, пакуль з прычыны нейтранізацыі яе рэчыва і росту шчыльнасці наступіць выраджэнне нейтроннага газу, які ўтварыўся, і не наступіць новая раўнавага з утварэннем нейтроннай зоркі.

Такім чынам, для белых карлікаў існуе верхняя мяжа масы, які атрымаў назву мяжы Чандрасекара.

Колькасны разгляд

Ураўненне стану $P$ рэлятывісцкага выраджанага электроннага газу

$\!p=K\rho ^{4/3}$ , (1)

дзе

$K={1 \over 8}\left({3 \over {\pi }}\right)^{1/3}{hc \over {(m_{u}\mu _{e})^{4/3}}}\approx {1.244\cdot 10^{15} \over {\mu _{e}^{4/3}}}$ см³/(с² г^1/3). (2)

Тут $m_{u}$ атамная адзінка масы, $\mu _{e}$ — малекулярная маса, якая прыходзіцца на адзін электрон (лік электронаў у адзінцы аб'ёму роўны $\rho /(m_{u}\mu _{e})$).

У адпаведнасці са стандартнай тэорыяй будовы зорак белы карлік з'яўляецца палітропным газавым шарам з гідрастатычна раўнаважкай сферычна-сіметрычнай канфігурацыяй, усярэдзіне якой

$p\sim \rho ^{1+{1 \over n}}$ і n=3;

пры гэтым маюцца суадносіны паміж пастаяннай K і масай ${\mathfrak {M}}$ палітропнага шара:

$K=0,3639\cdot G{\mathfrak {M}}^{2/3}$ , (3)

дзе 0,3639 — каэфіцыент, вызначаны умовай гідрастатычнай раўнавагі. Пры падстаноўцы значэнні K з (2) у (3), лімітавая маса ${\mathfrak {M}}_{Ch}$ белага карліка ў сонечных масах ${\mathfrak {M}}_{Sol}$:

${\mathfrak {M}}_{Ch}={0,1967 \over {(m_{u}\mu _{e})^{2}}}\left({hc \over G}\right)^{3/2}={5,83 \over {\mu _{e}^{2}}}{\mathfrak {M}}_{Sol}$. (4)

Значэнне мяжы Чандрасекара ${\mathfrak {M}}_{Ch}$ слаба залежыць ад $\mu _{e}$: у ідэальнай палітропнай мадэлі як $\mu _{e}^{-2}$, аднак з-за нейтранізацыі і эфектаў агульнай тэорыі адноснасці залежнасць аказваецца яшчэ слабей.

Разлікі для белых карлікаў рознага хімічнага складу даюць значэнне мяжы Чандрасекара ў дыяпазоне 1.38-1.44 $M_{Sol}$.

Мяжа Чандрасекара і звышновыя тыпу Ia

Мал. 3. Злева — выява ў рэнтгенаўскім дыяпазоне рэшткаў звышновай SN 1572 тыпу Ia, якія назіраліся Ціха Брагэ ў 1572 г. Справа — фатаграфія ў аптычным дыяпазоне, адзначаны былы кампаньён белага карліка, які выбухнуў.

У цесных падвойных сістэмах часцяком адным з кампанентаў з'яўляецца белы карлік. У выпадку, калі яго кампаньён ў працэсе эвалюцыі запаўняе сваю поласць Роша, пачынаецца інтэнсіўная акрэцыя на белы карлік, падчас якой ім можа быць пераўзыдзена мяжа Чандрасекара, наступствам чаго з'яўляецца выбух звышновай тыпу Ia. Паколькі такія звышновыя аказваюцца «калібраванымі па масе» мяжою Чандрасекара, то іх энергавыдзяленне таксама аказваецца «калібраваным»: адрозненні ў іх бляску вельмі невялікія. Дзякуючы такой асаблівасці звышновыя тыпу Ia выкарыстоўваюцца для вызначэння адлегласцей да аддаленых галактык.

У англамоўнай літаратуры для такіх аб'ектаў з вядомай абсалютнай свяцільнасцю выстаяўся тэрмін standard candles («стандартныя свечкі»), іншым прыкладам могуць служыць цэфеіды з вядомай залежнасцю перыяд-свяцільнасць.

Гл. таксама

• Белы карлік
• Мяжа Опенгеймера — Волкава
• Нейтронная зорка
• Звышновая зорка

Літаратура

• Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд, М., 1981 Архівавана 18 лютага 2006.
• Шкловский И. С. Звёзды: их рождение, жизнь и смерть, М.: Наука, 1984 Архівавана 10 снежня 2005.
• Subramanyan Chandrasekhar. On Stars, Their Evolution and Their Stability. Nobel Lecture, December 8, 1983 // Nobelprize.org
• Stergioulas, N., «Rotating Stars in Relativity», Living Reviews in Relativity, Vol. 6, (2003), No. 3.