Натуральны лагарыфм

Натуральны лагарыфм — гэта лагарыфм па аснове e, дзе e — ірацыянальная пастаянная, роўная прыблізна 2,718281828. Натуральны лагарыфм звычайна абазначаюць як ln(x), log_e(x), а часам проста log(x), калі аснова e маецца на ўвазе.

Графік функцыі натуральнага лагарыфма. Функцыя павольна імкнецца к дадатнай бесканечнасці пры нарастанні x і хутка імкнецца к адмоўнай бесканечнасці, калі x прыбліжаецца к 0 («павольна» і «хутка» — г. зн. вытворная мае, адпаведна, малыя і вялікія значэнні).

Натуральны лагарыфм ліку x (запісваецца як ln(x)) — гэта паказчык ступені, у якую трэба ўзвесці лік e, каб атрымаць x. Напрыклад, ln(7,389...) роўны 2, бо e²=7,389.... Натуральны лагарыфм самога ліку e (ln(e)) роўны 1, бо e¹ = e, а натуральны лагарыфм 1 (ln(1)) роўны 0, бо e⁰ = 1.

Натуральны лагарыфм можна вызначыць для любога дадатнага рэчаіснага ліку a як плошча пад крывою y = 1/x ад 1 да a. Прастата гэтага азначэння прывяла да з'яўлення назвы «натуральны». Гэта азначэнне можна пашырыць на камплексныя лікі.

Калі разглядаць натуральны лагарыфм як рэчаісную функцыю рэчаіснай зменнай, то яна з'яўляецца адваротнай да паказчыкавай функцыі:

$e^{\ln(a)}=a\quad (a>0),$

$\ln(e^{a})=a.$

Як і ўсе лагарыфмы, натуральны лагарыфм адлюстроўвае множанне ў складанне:

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).$

Такім чынам, лагарыфмічная функцыя з'яўляецца ізамарфізмам групы дадатных рэчаісных лікаў адносна множання на групу рэчаісных лікаў па складанню, які можна прадставіць як функцыю:

$\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .$

Лагарыфм можна вызначыць па любой дадатнай аснове, не роўнай 1, а не толькі для e, але лагарыфмы для іншых асноў адрозніваюцца ад натуральнага лагарыфма толькі сталым множнікам, і, як правіла, вызначаюцца праз натуральны. Лагарыфмы бываюць карысныя пры рашэнні ўраўненняў, у якіх невядомыя стаяць у паказчыку ступені. Напрыклад, лагарыфмы выкарыстоўваюцца, каб вылічыць пастаянную распаду і час распаду ў задачах на радыеактыўны распад. Лагарыфмы выконваюць значную ролю ў многіх галінах матэматыкі і іншых навук, прымяняюцца ў фінансавых разліках пры рашэнні задач звязаных са складаным працэнтам.

Гісторыя

Упершыню натуральны лагарыфм упамянуў Ніколас Меркатар у сваёй працы Logarithmotechnia, апублікаванай у 1668 годзе, хоць настаўнік матэматыкі Джон Спайдэл яшчэ ў 1619 годзе склаў табліцу натуральных лагарыфмаў. Раней функцыю называлі гіпербалічным лагарыфмам, бо яна адпавядае плошчы пад гіпербалай. Іншы раз яе называюць Неперавым лагарыфмам, хоць першапачатковае значэнне гэтага тэрміна было трохі іншае.

Абазначэнні

Руская і савецкая сістэма

Натуральны лагарыфм прынята абазначаць як «ln(x)», дзесятковы лагарыфм (па аснове 10) — як «lg(x)», а іншыя асновы ўказваюцца яўна пры сімвале «log».

У многіх працах па дыскрэтнай матэматыцы, кібернетыцы, інфарматыцы аўтары выкарыстоўваюць абазначэнне «log(x)» для лагарыфмаў па аснове 2, але такое ўжыванне не з'яўляецца агульнапрынятым і патрабуе тлумачэння альбо ў спісе выкарыстаных абазначэнняў, альбо (пры адсутнасці такога спіса) зноскай ці каментарыем пры першым выкарыстанні.

Дужкі вакол аргумента лагарыфмаў (калі гэта не вядзе да памылковага чытання формулы) звычайна не пішуць, а пры ўзвядзенні лагарыфма ў ступень паказчык прыпісваюць непасрэдна к знаку лагарыфма: ln² ln³ 4x⁵ = [ln([ln(4x⁵)]³)]².

Англа-амерыканская сістэма

Матэматыкі, статыстыкі і частка інжынераў звычайна выкарыстоўваюць для абазначэння натуральнага лагарыфма ці «log(x)», ці «ln(x)» , а для лагарыфма па аснове 10 — «log₁₀(x)».

Некаторыя інжынеры, біёлагі і іншыя спецыялісты заўсёды пішуць «ln(x)» (ці зрэдку «log_e(x)»), калі маюць на ўвазе натуральны лагарыфм, а запіс «log(x)» у іх абазначае log₁₀(x).

У тэарэтычнай інфарматыцы, тэорыі інфармацыі і крыптаграфіі «log(x)» звычайна абазначае лагарыфм па аснове 2 «log₂(x)» (хоць часта для двайковага лагарыфма ўжываецца абазначэнне lg(x)).

У мовах праграмавання

У найбольш ужывальных мовах праграмавання і пакетах прыкладных праграм, у тым ліку ў C, C++, SAS, MATLAB, Фартран і BASIC, функцыя «log» або «LOG» адносіцца да натуральнага лагарыфма.

У ручных калькулятарах натуральны лагарыфм абазначаецца ln, тады як log служыць для абазначэння лагарыфма па аснове 10.

Паходжанне тэрміна натуральны лагарыфм

На першы погляд можа паказацца, што раз наша сістэма злічэння мае аснову 10, то гэта аснова больш «натуральная», чым аснова e. Але матэматычна лік 10 не з'яўляецца асабліва адметным. Яго выкарыстанне хутчэй звязана з культурай, лік 10 агульны для многіх традыцыйных сістэм злічэння, і звязана гэта, мабыць, з лікам пальцаў у людзей. Некаторыя культуры стваралі свае сістэмы злічэння з іншымі асновамі: 5, 8, 12, 20 і 60.

log_e з'яўляецца «натуральным» лагарыфмам, бо ўзнікае аўтаматычна і паяўляецца ў матэматыцы вельмі часта. Напрыклад, разгледзім задачу дыферэнцавання лагарыфмічнае функцыі:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\ln(b)}}\ln {x}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(b)}}.$

Калі аснова b роўная e, то вытворная раўняецца проста 1/x, а пры x = 1 гэта вытворная роўная 1. Іншым абгрунтаваннем, паводле якога аснова e лагарыфма з'яўляецца найбольш натуральнаю, ёсць тое, што такі лагарыфм лёгка вызначыць праз просты інтэграл ці нескладаны рад Тэйлара, чаго нельга сказаць пра іншыя лагарыфмы.

Акрамя таго, ёсць некаторыя абгрунтаванні "натуральнасці", не звязаныя з інтэграваннем і дыферэнцаваннем. Так, напрыклад, ёсць некалькі простых радоў з натуральнымі лагарыфмамі. П'етра Менголі і Мікалай Меркатар называлі іх logarithmus naturalis за некалькі дзесяцігоддзяў да таго, як Ньютан і Лейбніц распрацавалі дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне.

Азначэнне

ln(a) вызначаецца як плошча пад крывой f(x) = 1/x ад 1 да a.

Фармальна, для дадатнага ліку a яго натуральны лагарыфм ln(a) можна вызначыць як плошчу пад крывой графіка 1/x ад 1 да a, г. зн. як інтэграл:

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Гэта сапраўды лагарыфм, бо ён задавальняе асноўную ўласцівасць лагарыфма:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$

Гэта можна паказаць, разбіваючы інтэграл для ln(ab) і робячы замену зменнай x = at у другім інтэграле:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt=\ln(a)+\ln(b)$

Лік e можна вызначыць як рэчаісны лік a такі, што ln(a) = 1.

З другога боку, калі паказчыкавая функцыя была вызначана першаю, напрыклад, з выкарыстаннем бесканечных радоў, натуральны лагарыфм можна вызначыць як адваротную ёй функцыю, г. зн. ln — такая функцыя, што

$e^{\ln(x)}=x.$

Паказчыкавая функцыя пры рэчаісных аргументах прымае ўсе дадатныя рэчаісныя значэнні і строга нарастае, таму адваротная функцыя карэктна вызначана для ўсіх дадатных x.

Уласцівасці

• $\ln(1)=0\,$
• $\ln(-1)=i\pi \quad \,$

(гл. камплексны лагарыфм)

• Пры 0 < x < y

  $\ln(x)<\ln(y)$

• Пры h > -1

  ${\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.$

Вытворная, рад Тэйлара

Мнагачлены Тэйлара даюць добрае прыбліжэнне для ln(1+x) толькі ў прамежку -1 < x ≤ 1. Варта заўважыць, што для x > 1 мнагачлены Тэйлара вышэйшай ступені даюць горшае прыбліжэнне.

Вытворная натуральнага лагарыфма роўная

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.$

Адсюль можна атрымаць раскладанне ln(1+x) у рад Тэйлара каля 0, т. зв. рад Меркатара:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\dots ,\qquad -1<x\leq 1.$

Падстаўляючы x-1 замест x, атрымаем формулу для ln(x) пры 0 < x ≤ 2, а іменна:

$\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}$

Ці ў разгорнутай форме:

$\ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\dots$

З дапамогаю пераўтварэння Эйлера рада Меркатара можна атрымаць наступны выраз, справядлівы для любога х, большага за 1 па абсалютнай велічыні:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\dots .$

Гэты рад падобен на формулу Бэйлі—Борвэйна—Плафа.

Таксама заўважым, што функцыя ${\frac {x}{x-1}}$ адваротная сабе, таму каб вылічыць натуральны лагарыфм ліку y, трэба проста падставіць замест x значэнне ${\frac {y}{y-1}}.$

Натуральны лагарыфм у інтэграванні

Натуральны лагарыфм дазваляе проста інтэграваць функцыі выгляду g(x) = f '(x)/f(x): першаісная функцыі g(x) мае від ln(|f(x)|). Гэта вынікае з ланцуговага правіла і наступнага факта:

${d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={\frac {1}{x}}.$

Ці іначай:

$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

і

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

Ніжэй прыведзены прыклад для g(x) = tan(x):

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

Няхай f(x) = cos(x) і f'(x)= - sin(x):

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C$

дзе C — адвольная пастаянная інтэгравання.

Натуральны лагарыфм можна праінтэграваць с дапамогаю інтэгравання па частках:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Лікавае значэнне

Каб вылічыць значэнне натуральнага лагарыфма ліку |x| < 1, можна выкарыстаць раскладанне ў рад Тэйлара ў выглядзе:

$\ln(1+x)=x\,\left({\frac {1}{1}}-x\,\left({\frac {1}{2}}-x\,\left({\frac {1}{3}}-x\,\left({\frac {1}{4}}-x\,\left({\frac {1}{5}}-\dots \right)\right)\right)\right)\right).$

Каб атрымаць лепшую скорасць збежнасці, можна скарыстаць наступную тоеснасць:

$\ln(x)=\ln \left({\frac {1+y}{1-y}}\right)$	$=2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}y^{2}+{\frac {1}{5}}y^{4}+{\frac {1}{7}}y^{6}+{\frac {1}{9}}y^{8}+\dots \right)$
	$=2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{3}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{5}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{7}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{9}}+\dots \right)\right)\right)\right)\right)$

дзе y = (x−1)/(x+1) і x > 0.

Для ln(x), пры x > 1, чым бліжэй значэнне x к 1, тым большая скорасць збежнасці. У дасягненні гэтага таксама могуць дапамагчы лагарыфмічныя тоеснасці:

$\ln(123{,}456)\!$	$=\ln(1{,}23456\times 10^{2})\,\!$
	$=\ln(1{,}23456)+\ln(10^{2})\,\!$
	$=\ln(1{,}23456)+2\times \ln(10)\,\!$
	$\approx \ln(1{,}23456)+2\times 2{,}3025851\,\!$

Такія метады прымяняліся яшчэ да з'яўлення калькулятараў, калі выкарыстоўваліся лікавыя табліцы і ажыццяўляліся пераўтварэнні, падобныя да прыведзеных вышэй.

Высокая дакладнасць

Для вылічэння натуральнага лагарыфма з вялікай колькасцю дакладных лічбаў рад Тэйлара не эфектыўны, бо збягаецца павольна. Калі x блізкі да 1, можна выкарыстаць метад Ньютана, каб абярнуць экспаненцыяльную функцыю, чый рад збягаецца хутчэй.

Яшчэ адной альтэрнатывай для вельмі высокай дакладнасці разлікаў з'яўляецца формула:

$\ln x\approx {\frac {\pi }{2\operatorname {agm} (1,4/s)}}-m\ln 2,$

дзе agm абазначае арыфметыка-геаметрычнае сярэдняе лікаў 1 і 4/s,

$s=x\,2^{m}>2^{p/2},$

m выбрана так, што дасягалася дакладнасць p біт. (У большасці выпадкаў для m дастаткова значэння 8.) Больш таго, пры выкарыстанні гэтага метаду, можна, наадварот, эфектыўна вылічыць паказчыкавую функцыю, прымяніўшы метад Ньютана для абарачэння натуральнага лагарыфма. (Пастаянныя ln 2 і пі можна вылічыць загадзя з любой патрэбнай дакладнасцю, карыстаючыся любым вядомым хутка збежным радам.)

Вылічальная складанасць

Вылічальная складанасць натуральных лагарыфмаў (пры выкарыстанні арыфметыка-геаметрычнага сярэдняга) роўная O(M(n) ln n). Тут n — колькасць дакладных лічбаў, з якою трэба вылічыць натуральны лагарыфм, а M(n) — вылічальная складанасць перамнажэння двух n-значных лікаў.

Непарыўныя дробы

Хоць для прадстаўлення лагарыфма невядома простых непарыўных дробаў, ёсць аднак некалькі абагульненых непарыўных дробаў, у тым ліку:

$\log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}$

$\log \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}$

Камплексныя лагарыфмы

Асноўны артыкул: Камплексны лагарыфм

Экспаненцыяльная функцыя можа быць працягнута на ўсю камплексную плоскасць. Атрыманая ў выніку функцыя дае камплекснае значэнне e^x для адвольнага камплекснага ліку x; пры гэтым выкарыстоўваецца бесканечны рад з камплексным x. Абарачэнне гэтай паказчыкавай функцыі дае камплексны лагарыфм, які праяўляе большасць уласцівасцей звычайных лагарыфмаў. Узнікае, аднак, дзве цяжкасці: не існуе x, для якога e^x = 0, і аказваецца, што e^2πi = 1 = e⁰. Паколькі мультыплікатыўныя ўласцівасці захоўваюцца і для камплекснай паказчыкавай функцыі, то e^z = e^z+2nπi для ўсіх камплексных z і цэлых n.

Такім чынам, лагарыфм нельга вызначыць на ўсёй камплекснай плоскасці, і нават пры гэтым ён мнагазначны — любы камплексны лагарыфм можна замяніць на «раўназначны» лагарыфм, дабавіўшы любое цэлае кратнае 2πi. Камплексны лагарыфм можа быць адназначным толькі на разрэзанай камплекснай плоскасці. Напрыклад, ln i = 1/2 πi ці 5/2 πi ці −3/2 πi, і г.д.

• Функцыя натуральнага лагарыфма на камплекснай плоскасці (галоўная галіна)
• 
  z = Re(ln(x+iy))
• 
  z = Im(ln(x+iy))
• 
• 
  Налажэнне трох папярэдніх графікаў

Гл. таксама

• Джон Непер — вынаходнік лагарыфмаў
• Інтэгральны лагарыфм
• Лік e
• Леанард Эйлер

Спасылкі

• "Разбираемся с натуральным логарифмом" — пераклад на рускую мову артыкула Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained (англ.)
• Weisstein, Eric W.. Natural Logarithm (нявызн.). MathWorld.