Нуль функцыі

Нуль функцыі (або корань функцыі) у матэматыцы — элемент з вобласці вызначэння функцыі, у якім яна прымае нулявое значэнне.

Нулі косінуса на прамежку [-2π,2π] (чырвоныя кропкі)

Напрыклад, для функцыі f, вызначанай формулай

$f(x)=x^{2}-6x+9,$

x = 3 — нуль, бо

$f(3)=3^{2}-6(3)+9=0.$

Паняцце нулёў функцыі можна разглядаць для любых функцый, вобласць значэнняў якіх утрымлівае нуль ці нулявы элемент адпаведнай алгебраічнай структуры.

Для функцыі рэчаіснай зменнай $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ нулямі з'яўляюцца значэнні, у якіх графік функцыі перасякае вось абсцыс.

Пры вылічэнні нулёў функцыі часта выкарыстоўваюцца лікавыя метады (напрыклад, метад Ньютана, градыентныя метады).

Адною з неразвязаных матэматычных праблем з'яўляецца знаходжанне нулёў дзэта-функцыі Рымана.

Корань мнагачлена

Асноўны артыкул: Корань мнагачлена

Задача знаходжання нулёў квадратнага трохчлена прывяла да з'яўлення паняцця камплексных лікаў.

Асноўная тэарэма алгебры сцвярджае, што кожны мнагачлен ступені n с камплекснымі каэфіцыентамі мае n камплексных каранёў, улічваючы іх кратнасць. У выпадку мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі камплексныя карані заўсёды ўваходзяць спалучанымі парамі. Кожны мнагачлен няцотнае ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі мае хоць адзін рэчаісны корань. Сувязь паміж каранямі мнагачлена і яго каэфіцыентамі апісваецца тэарэмаю Віета.

Камплексны аналіз

Просты нуль аналітычнай у некаторай вобласці $G\subset \mathbb {C}$ функцыі $f$ — пункт $z_{0}\in G$, у некаторым наваколлі якога справядліва прадстаўленне

$f(z)=(z-z_{0})g(z),$

дзе $g$ аналітычная ў $z_{0}$ і мае ненулявое значэнне ў гэтым пункце.

Нуль парадку $k$ аналітычнай у некаторай вобласці $G\subset \mathbb {C}$ функцыі $f$ — пункт $z_{0}\in G$, у некаторым наваколлі якога справядліва прадстаўленне

$f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z),$

дзе $g$ аналітычная ў $z_{0}$ і ненулявая ў гэтым пункце.

Нулі аналітычнай функцыі ізаляваныя.

Іншыя адмысловыя ўласцівасці нулёў камплексных функцый апісваюцца ў розных тэарэмах:

• Тэарэма Рушэ,
• Тэарэма Мардэна,
• Тэарэма Гауса — Люка

Літаратура

Нуль функции (руск.) — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі