Падобнасць (геаметрыя)

Падобнасць — ператварэнне эўклідавай прасторы, пры якім для любых двух пунктаў $A$, $B$ і іх выяў$A'$, $B'$ маюць месца суадносіны $|A'B'|=k|AB|$, дзе $k$ — не роўны нулю лік, што завецца каэфіцыентам падобнасці.

Адкрыццё

Вучэнне пра падобнасць фігур было створана ў Старажытнай Грэцыі у V—IV стст. да н.э. працамі Гіпакрата Хіяскага, Архіта Тарэнцкага, Яўдокса Кнідскага і інш. Яно выкладзена ў VI кнізе «Пачаткаў» Эўкліда.

Прыклады

• Кожная гаматэтыя з'яўляецца падобнасцю.
• Кожны рух (у тым ліку і тоесны) таксама можна разглядаць як ператварэнне падобнасці з каэфіцыентам $k=1$.

Падобныя фігуры на рысунку маюць аднолькавыя колеры.

Звязаныя вызначэнні

• Фігура $F$ завецца падобнай фігуры $F'$, калі існуе ператварэнне падобнасці, пры якім $F\to F'$.
  • Падобнасць фігур з'яўляецца дачыненнем эквівалентнасці.

Уласцівасці

• Падобнасць ёсць ўзаемна адназначным адлюстраваннем эўклідавай прасторы на сябе.
• Падобнасць захоўвае парадак пунктаў на простай, то бок калі пункт $B$ ляжыць паміж пунктамі $A$, $C$ і $B'$, $A'$, $C'$ — адпаведныя іх выявы пры некаторай падобнасці, то $B'$ таксама ляжыць паміж пунктамі $A'$ і $C'$.
• Пункты, што не ляжаць на простай, пры кожнай падобнасці пераходзяць у пункты, што не ляжаць на адной простай.
• Падобнасць ператворыць простую ў простую, адрэзак у адрэзак, прамень у прамень, вугал у вугал, акружнасць у акружнасць.
• Пры падобнасці вугал захоўвае велічыню.
• Падобнасць з каэфіцыентам $k\not =1$, што пераўтварае кожную простую ў паралельную ёй простую, з'яўляецца гаматэтыяй з каэфіцыентам $k$ ці $-k$.
  • Кожную падобнасць можна разглядаць як кампазіцыю руху $D$ і некаторай гаматэтыі $\Gamma$ з дадатным каэфіцыентам.
  • Падобнасць завецца уласнай (няўласнай), калі рух $D$ з'яўляецца ўласным (няўласным). Уласная падобнасць захоўвае арыентацыю фігур, а няўласная — змяняе арыентацыю на процілеглую.
• Два трохвугольніка з'яўляюцца падобнымі, калі
  • іх адпаведныя вуглы роўныя, ці
  • бакі сумерныя. Гл. таксама Прыкметы падобнасці трохвугольнікаў.
• Плошчы падобных фігур сумерныя квадратам іх адпаведных ліній (прыкладам, бакоў). Так, плошчы кругоў сумерныя адносінам квадратаў іх дыяметраў (ці радыусаў).

Абагульненні

Аналагічна вызначаецца падобнасць (з захаваннем указаных вышэй уласцівасцей) у 3-мернай эўклідавай прасторы, а таксама ў n-мернай эўклідавай і псеўдаэўклідавай прасторах.

У метрычных прасторах гэтак жа, як у $n$-мерных рыманавых, псеўдарыманавых і фінслеравых прасторах падобнасць вызначаецца як ператварэнне, што перакладае метрыку прасторы ў сябе з дакладнасцю да пастаяннага множніка.

Сукупнасць усіх падабенстваў n-мернай эўклідавай, псеўдаэўклідавай, рыманавай, псеўдарыманавай ці фінслеравай прасторы складае $r$-складовую групу ператварэнняў Лі, якая завецца групай падобных (гаматэтычных) ператварэнняў адпаведнай прасторы. У кожнай з прастор указаных тыпаў $r$-складовая група падобных ператварэнняў Лі ўтрымвае $(r-1)$-складовую нармальную падгрупу рухаў.

Абазначэнне

Для абазначэння падобнасці выкарыстоўваецца значок ~.

Гл. таксама

• Кангруэнтнасць, геаметрыя
• Канформавае адлюстраванне
• Прыкметы падобнасці трохвугольнікаў
• Сіметрыя
• Сама-падобнасць

Спасылкі

• Роўнасць і падобнасць геаметрычных фігур