Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання . Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.
Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый , а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.
Вытворныя найпрасцейшых функцый
правіць
Ступеневае правіла : няхай
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}}
рэчаіснага паказніка n
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
.
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.}
Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай :
калі функцыя f ста́лаю функцыяй (г. зн. для любых x f (x ) = c c f ′
(
c
)
′
=
0.
{\displaystyle (c)'=0.}
Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада :
(
a
n
x
n
+
⋯
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
)
′
=
n
a
n
x
n
−
1
+
⋯
+
2
a
2
x
+
a
1
.
{\displaystyle (a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})'=na_{n}x^{n-1}+\dots +2a_{2}x+a_{1}.}
Вытворная модуля
(
|
x
|
)
′
=
x
|
x
|
=
sgn
x
,
x
≠
0.
{\displaystyle (|x|)'={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0.}
Вытворная паказнікавай функцыі :
(
e
x
)
′
=
e
x
.
{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.}
Вытворная паказнікавай функцыі з асновай b
(
b
x
)
′
=
b
x
ln
b
,
b
>
0.
{\displaystyle (b^{x})'={b^{x}\ln b},\qquad b>0.}
Вытворная натуральнага лагарыфма :
(
ln
x
)
′
=
1
x
.
{\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}.}
Вытворная лагарыфма з асноваю b
(
log
b
x
)
′
=
1
x
ln
b
,
b
>
0
,
b
≠
1.
{\displaystyle (\log _{b}x)'={\frac {1}{x\ln b}},\qquad b>0,\quad b\neq 1.}
Табліца вытворных
правіць
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad |x|<1}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad |x|<1}
(
tg
x
)
′
=
1
cos
2
x
=
sec
2
x
=
1
+
tg
2
x
{\displaystyle (\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x=1+\operatorname {tg} ^{2}x}
(
arctg
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arctg} x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}\,}
(
ctg
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
=
−
csc
2
x
=
−
(
1
+
ctg
2
x
)
{\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x=-(1+\operatorname {ctg} ^{2}x)}
(
arcctg
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcctg} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
(
sec
x
)
′
=
sec
x
⋅
tg
x
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\cdot \operatorname {tg} x}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad |x|>1}
(
csc
x
)
′
=
−
csc
x
⋅
ctg
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cdot \operatorname {ctg} x\,}
(
arccsc
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}},\qquad |x|>1}
(
sh
x
)
′
=
ch
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {sh} x)'=\operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(
arsh
x
)
′
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsh} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
ch
x
)
′
=
sh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {ch} x)'=\operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(
arch
x
)
′
=
1
x
2
−
1
,
x
>
1
{\displaystyle (\operatorname {arch} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1}
(
th
x
)
′
=
1
ch
2
x
=
sech
2
x
{\displaystyle (\operatorname {th} x)'={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}=\operatorname {sech} ^{2}x}
(
arth
x
)
′
=
1
1
−
x
2
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle (\operatorname {arth} x)'={\frac {1}{1-x^{2}}},\qquad |x|<1}
(
cth
x
)
′
=
−
1
sh
2
x
=
−
csch
2
x
{\displaystyle (\operatorname {cth} x)'=-{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x}
(
arcth
x
)
′
=
1
1
−
x
2
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle (\operatorname {arcth} x)'={\frac {1}{1-x^{2}}},\qquad |x|>1}
(
sech
x
)
′
=
−
th
x
⋅
sech
x
{\displaystyle (\operatorname {sech} x)'=-\operatorname {th} x\cdot \operatorname {sech} x}
(
arsech
x
)
′
=
−
1
x
1
−
x
2
,
0
<
x
<
1
{\displaystyle (\operatorname {arsech} x)'=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},\qquad 0<x<1}
(
csch
x
)
′
=
−
cth
x
⋅
csch
x
{\displaystyle (\operatorname {csch} x)'=-\operatorname {cth} x\cdot \operatorname {csch} x}
(
arcsch
x
)
′
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arcsch} x)'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
Правілы дыферэнцавання
правіць
Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання)
правіць
Для любых дыферэнцавальных функцый f g сталых a b h (x ) = af (x ) + bg (x )x
(
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
)
′
=
a
f
′
(
x
)
+
b
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle (af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x).}
У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:
d
(
a
f
+
b
g
)
d
x
=
a
d
f
d
x
+
b
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}
Адмысловыя выпадкі :
(
a
f
)
′
=
a
f
′
.
{\displaystyle (af)'=af'.}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
.
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'.}
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}
Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)
правіць
Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый f g
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}
У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:
d
(
f
g
)
d
x
=
d
f
d
x
g
+
f
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}
Вытворная дзелі
правіць
Вытворная функцыі h (x ) = 1/f (x )f
(
1
f
(
x
)
)
′
=
−
f
′
(
x
)
[
f
(
x
)
]
2
.
{\displaystyle \left({\frac {1}{f(x)}}\right)'=-{\frac {f'(x)}{[f(x)]^{2}}}.}
Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:
d
(
1
/
f
)
d
x
=
−
1
f
2
d
f
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}
Вытворная дзелі дзвюх функцый . Калі f g g ≠ 0
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
.
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}.}
Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла)
правіць
Вытворная складанай функцыі h (x ) = f (g (x ))x
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x).}
У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:
d
h
d
x
=
d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}
Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы h g
d
h
d
x
=
d
h
d
g
⋅
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}.}
Вытворная адваротнай функцыі
правіць
Калі дыферэнцавальная функцыя f адваротную функцыю g g (f (x )) = x f (g (y )) = y
g
′
(
x
)
=
1
f
′
(
g
(
x
)
)
.
{\displaystyle g'(x)={\frac {1}{f'(g(x))}}.}
У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд
d
x
d
y
=
1
d
y
/
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}
Заўвага : нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі .
Вытворная складана-ступеневай функцыі
правіць
Няхай f g f > 0
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
g
f
′
f
+
g
′
ln
f
)
.
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(g{\frac {f'}{f}}+g'\ln f\right).}
Адмысловыя выпадкі :
Калі f (x ) = x a f ′(x ) = ax a − 1a x
Калі g (x ) = −1
Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980. 
![{\displaystyle \left({\frac {1}{f(x)}}\right)'=-{\frac {f'(x)}{[f(x)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954f07c4fd39db141bcad46d585c50dafe1259f0)
