Тэарэма Баеса

Тэарэ́ма Ба́еса — адна з асноўных тэарэм тэорыі імавернасцей, якая дазваляе падлічыць умоўную імавернасць падзеі пры выкананні іншай, статыстычна звязанай з ёй падзеі. Названа ў гонар Томаса Баеса.

Фармулёўка

Калі $\{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}$ — поўная група падзей і ўсе $P(A_{k})>0$, а $B$ — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то^:39

$$P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.$$

Доказ

Згодна з тэарэмай множання імавернасцей

$$P(B)P(A_{k}|B)=P(A_{k}B)=P(A_{k})P(B|A_{k}).$$

Адсюль праз формулу поўнай імавернасці вынікае, што

$$P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.$$

Інтэрпрэтацыя

Падзеі $A_{k}$ можна інтэрпрэтаваць як гіпотэзы, $B$ — вынік нейкага выпрабавання. Імавернасці $P(A_{k})$ — апрыёрныя (вядомыя або меркаваныя яшчэ перад выпрабаваннем) імавернасці гіпотэз $A_{k}$. Імавернасці $P(A_{k}|B)$ — апастэрыёрныя (вылічаныя пасля выпрабавання) імавернасці. Такім чынам, тэарэма Баеса дазваляе вылічыць апастэрыёрныя імавернасці гіпотэз праз іхнія апрыёрныя імавернасці і ўмоўныя імавернасці $P(B|A_{k})$^:39.

Прыклад

Няхай маецца дзве скрыні з шарамі. У першай скрыні 9 белых шароў і 1 чорны, а ў другой скрыні 9 чорных шароў і 1 белы. Спачатку выпадкова выбіраецца адна са скрынь, пасля з яе дастаецца шар (у кожнага шара, як і ў кожнай скрыні, імавернасці выбару роўныя паміж сабой). Вядома, што ў канцы працэдуры быў выбраны чорны шар. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што шар даставаўся з першай скрыні.

Развязанне

Увядзём наступныя абазначэнні:

• $A_{1}$ — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з першай скрыні».
• $A_{2}$ — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з другой скрыні».
• $B$ — падзея (вынік выпрабавання) «быў выбраны чорны шар».

З умовы задачы вядомыя апрыёрныя імавернасці $P(A_{1})=P(A_{2})=1/2$. З колькасці белых і чорных шароў у кожнай скрыні можна падлічыць умоўныя імавернасці $P(B|A_{1})=1/10$, $P(B|A_{2})=9/10$. Патрабуецца знайсці апастэрыёрную імавернасць $P(A_{1}|B)$ — імавернасць выбару першай скрыні, калі вядома, што выняты шар быў чорным.

Скарыстаем тэарэму Баеса:

$$P(A_{1}|B)={\frac {P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})}}=$$

$$={\frac {(1/2)*(1/10)}{(1/2)*(1/10)+(1/2)*(9/10)}}=1/10.$$

Можна падлічыць і апастэрыёрную імавернасць другой гіпотэзы:

$$P(A_{2}|B)=1-P(A_{1}|B)=9/10.$$

Такім чынам, перад эксперыментам абедзве гіпотэзы мелі роўную імавернасць (апрыёрныя імавернасці роўныя $1/2$, няма падстаў аддаваць перавагу той ці іншай гіпотэзе). Карыстаючыся вынікамі эксперыменту (выманне чорнага шара), мы абнавілі нашую ўпэўненасць у тым, якая з гіпотэз насамрэч адбылася (у другой гіпотэзы апастэрыёрная імавернасць вышэй, чым у першай). Такая працэдура ляжыць у аснове статыстычнага метаду баесавага высноўвання.