Тэарэма Гаўса

Тэарэ́ма Га́ўса — асноўная тэарэма электрастатыкі, якая ўстанаўлівае сувязь паміх патокам напружанасці электрычнага поля праз адвольную замкнёную паверхню і электрычным зарадам, што знаходзіцца ўнутры гэтай паверхні.

Электрадынаміка

Электрычнасць · Магнетызм Электрастатыка Закон Кулона Тэарэма Гауса Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Біё — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны паток Электрадынаміка Вектарны патэнцыял Электрычны дыполь Патэнцыялы Ліенара — Віхерта Сіла Лорэнца Ток зрушэння Уніпалярная індукцыя Ураўненні Максвела Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьванне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Правілы Кірхгофа Індуктыўнасць Радыёхвалявод Рэзанатар Электрычная ёмістасць Электрычная праводнасць Электрычнае супраціўленне Электрычны імпеданс Каварыянтная фармулёўка Тэнзар электрамагнітнага поля Тэнзар энергіі-імпульсу 4-патэнцыял 4-ток Вядомыя вучоныя Генры Кавендыш Майкл Фарадэй Андрэ Мары Ампер Густаў Роберт Кірхгоф Джэймс Клерк Максвел Генрых Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсан Роберт Эндрус Мілікен

Фармулёўка

Фармулёўка тэарэмы:

Паток вектара напружанасці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю свабодных электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.

$\Phi ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}$

Доказ

Паток вектара напружанасці пунктавага зарада праз элемент паверхні dS складае

$d\Phi ={\vec {E}}{\vec {dS}}={\frac {qdScos\varphi }{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}={\frac {qdS_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}$, дзе $dS_{r}$ праекцыя dS на плоскасць, перпендыкулярную да вектара ${\vec {r}}$, накіраванага ад зарада да паверхні.

Велічыня ${\frac {dS_{r}}{r^{2}}}$ уяўляе сабой цялесны вугал $d\Omega$, пад якім з пункта знаходжання зарада бачна паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны паток праз замкнёную паверхню роўны

$\Phi =\oint {\frac {qdS_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}=\oint {\frac {qd\Omega }{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}\oint d\Omega ={\frac {q}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}$

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, то яго паток праз паверхню роўны да нуля, таму што любая прамая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і іншы раз – выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып суперпазіцыі электрычных палёў, агульны паток праз замкнёную паверхню можна знайсці як суму патокаў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

$\Phi =\Sigma \Phi _{i}={\frac {\Sigma q_{i}}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}$

Тэарэма Гаўса з'яўляецца вынікам закона Кулона. Яна ўжывальная і да іншых палёў, напружанасць якіх вызначаецца законам, падобным да кулонаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасці будзе выконваць паскарэнне свабоднага падзення, а замест зарада будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

$\Phi =4\pi GM$

дзе G – гравітацыйная пастаянная.

Літаратура

• Мікуліч А. С. Курс агульнай фізікі. Электрычнасць і магнетызм: вучэб. дапаможнік. — Мн.: Вышэйшая школа, 1995.