Тэарэма сінусаў

Тэарэма сінусаў — тэарэма пра сувязь паміж старанамі трохвугольніка і процілеглымі да іх вугламі.

Стандартныя абазначэнні

Тэарэма сцвярджае:

Для адвольнага трохвугольніка са старанамі a, b, c і адпаведнымі ім процілеглымі вугламі α, β, γ справядліва роўнасць ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,$ дзе R — радыус акружнасці, апісанай вакол трохвугольніка.

Доказ  

Дастаткова даказать, што

${\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.$

Правядзём дыяметр BG апісанай акружнасці. Па ўласцівасці вуглоў, упісаных у акружнасць, вугал GCB прамы, а вугал CGB роўны або $\alpha$, калі пункты A і G ляжаць па адзін бок ад прамой BC, або $\pi -\alpha$ ў процілеглым выпадку. А раз

$\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha ,$

у абодвух выпадках атрымліваем

$a=2R\sin \alpha .$

Даслоўна паўтарыўшы тое ж разважанне для дзвюх другіх старон трохвугольніка, атрымліваем:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.$

Гл. таксама

• Тэарэма косінусаў