Удар

Удар — штуршок, кароткачасовае ўзаемадзеянне цел, пры якім адбываецца пераразмеркаванне кінетычнай энергіі. Часта носіць разбуральны для ўзаемадзейнічаючых цел характар. У фізіцы пад ударам разумеюць такі тып ўзаемадзеяння рухаючыхся цел, пры якім часам ўзаемадзеяння можна занядбаць.

Фізічная абстракцыя

Пры ўдары выконваецца закон захавання імпульсу і закон захавання моманту імпульсу, але звычайна не выконваецца закон захавання механічнай энергіі. Мяркуецца, што за час удару дзеяннем знешніх сіл можна занядбаць, тады поўны імпульс цел пры ўдары захоўваецца, у адваротным выпадку трэба ўлічваць імпульс знешніх сіл. Частка энергіі звычайна сыходзіць на нагрэў цел і гук.

Вынік сутыкнення двух цел можна цалкам разлічыць, калі, вядома, іх рух да ўдару і механічная энергія пасля ўдару. Звычайна разглядаюць альбо абсалютна пругкі ўдар, альбо ўводзяць каэфіцыент захавання энергіі k, як стаўленне кінэтычнай энергіі пасля ўдару да кінэтычнай энергіі да ўдару пры ўдары аднаго цела аб нерухомую сценку, зробленую з матэрыялу іншага цела. Такім чынам, k з’яўляецца характарыстыкай матэрыялу, з якога выраблены целы, і (меркавана) не залежыць ад астатніх параметраў цел (формы, хуткасці і г. д.).

Калі страты энергіі не вядомы, адбываецца адначасовае сутыкненне некалькіх цел або сутыкненне кропкавых часціц, то вызначыць адназначна рух цел пасля ўдару немагчыма. У гэтым выпадку разглядаецца залежнасць магчымых кутоў рассейвання і хуткасцяў цел пасля ўдару ад пачатковых умоў. Напрыклад, пры сутыкненні двух элементарных часціц рассейванне можа адбыцца толькі ў пэўным дыяпазоне вуглоў, які вызначаецца гранічным вуглом рассейвання.

У агульным выпадку рашэнне задачы аб сутыкненні акрамя веды пачатковых хуткасцяў патрабуе дадатковых параметраў.

Абсалютна пругкі ўдар

Абсалютна пругкі ўдар — мадэль сутыкненняў, пры якой поўная кінэтычная энергія сістэмы захоўваецца. У класічнай механіцы пры гэтым грэбуюць дэфармацыямі цел. Адпаведна, лічыцца, што энергія на дэфармацыі не губляецца, а ўзаемадзеянне распаўсюджваецца па ўсім целе імгненна. Добрай мадэллю абсалютна пругкага ўдару з’яўляецца сутыкненне більярдных шароў або пругкіх мячыкаў.

Матэматычная мадэль абсалютна пругкага ўдару працуе прыкладна наступным чынам:

1. Ёсць у наяўнасці два абсалютна цвёрдых целы, якія сутыкаюцца.
2. У кропцы кантакту адбываюцца пругкія дэфармацыі. Кінэтычная энергія якія рухаюцца цел імгненна і цалкам пераходзіць у энергію дэфармацыі.
3. У наступны момант дэфармаваныя целы прымаюць сваю ранейшую форму, а энергія дэфармацыі цалкам назад пераходзіць у кінэтычную энергію.
4. Кантакт цел спыняецца, і яны працягваюць рух.

Для матэматычнага апісання найпростых абсалютна пругкіх удараў выкарыстоўваецца закон захавання энергіі і закон захавання імпульсу.

${\displaystyle }$

Тут ${\displaystyle }$ — масы першага і другога цел. ${\displaystyle }$ — хуткасць першага цела да, і пасля ўзаемадзеяння. ${\displaystyle }$ — хуткасць другога цела да, і пасля ўзаемадзеяння.

${\displaystyle }$

Важна — імпульсы складаюцца векторна, а энергіі скалярна.

Абсалютна пругкі ўдар цел роўных мас

Абсалютна пругкі ўдар двух цел розных мас

Абсалютна пругкі ўдар цел роўных мас, але з рознымі напрамкамі і модулямі хуткасцяў

Абсалютна пругкі ўдар можа выконвацца зусім дакладна пры сутыкненні элементарных часціц нізкіх энергій. Гэта следства прынцыпаў квантавай механікі, якая забараняе адвольныя змены энергіі сістэмы. Калі энергія  часціц, якія сутыкаюцца, недастаткова для ўзбуджэння іх ўнутраных ступеняў свабоды, то механічная энергія сістэмы не змяняецца. Змяненне механічнай энергіі можа таксама быць забаронена нейкімі законамі захавання (моманту імпульсу, цотнасці і т . п.). Трэба, аднак, улічваць, што пры сутыкненні можа змяняцца склад сістэмы. Найпросты прыклад — выпраменьванне кванта святла. Таксама можа адбывацца распад або зліццё часціц, а ў пэўных умовах — нараджэнне новых часціц. У замкнёнай сістэме пры гэтым выконваюцца ўсе законы захавання, аднак пры вылічэннях трэба ўлічваць змяненне сістэмы.

Абсалютна пругкі ўдар у двухмернай прасторы

У выпадку сутыкнення двух цел ў двух вымярэннях хуткасць кожнага цела павінна быць падзелена на дзве перпендыкулярныя хуткасці: адна па датычнай да агульнай нармалі паверхні сутыкаюцца цел ў кропцы кантакту, а іншая ўздоўж лініі сутыкнення. Паколькі сутыкненне дзейнічае толькі па лініі сутыкнення, хуткасці, вектары якіх праходзяць па датычнай да кропкі сутыкнення, не зменяцца. Хуткасці, накіраваныя ўздоўж лініі сутыкнення могуць быць вылічаныя з дапамогай тых жа ураўненняў, што і сутыкненні ў адным вымярэнні. Канчатковыя хуткасці могуць быць вылічаныя з двух новых кампанентаў хуткасцяў і будуць залежаць ад кропкі сутыкнення. Даследаванні двухмерных сутыкненняў праводзяцца для мноства часціц у дачыненні да двухмернага газу.

Калі выказаць здагадку, што першая часціца рухаецца, а другая часціца знаходзіцца ў стане спакою да сутыкнення, то куты адхіленні двух часціц, θ₁ і θ₂, звязаны з вуглом адхіленні θ наступным выразам:

Сутыкненне двух цел ў двухмернай прасторы

${\displaystyle }$

Велічыні хуткасцяў пасля сутыкнення будуць наступнымі:

${\displaystyle }$

Двухмернае сутыкненне двух аб'ектаў, якія рухаюцца.

Канчатковыя кампаненты x і y хуткасці першага шара могуць быць вылічаная як:

${\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )\\[0.2em]&\quad +v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )\\[0.2em]&\quad +v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\end{aligned}}$

дзе v₁ і v₂ скалярныя велічыні дзвюх першапачатковых хуткасцяў двух цел, m₁ і m₂ іх масы, θ₁ і θ₂ куты руху, і маленькае Фі (φ)гэта кут судакранання. Каб атрымаць ардынату і абсцысу вектара хуткасці другога цела, неабходна замяніць падрадковы індэкс 1 і 2, на 2 і 1 адпаведна.

Абсалютна няпругкі ўдар

Абсалютна няпругкі удар — удар, у выніку якога целы злучаюцца і працягваюць сваё далейшае рух як адзінае цела. Яго хуткасць можа быць знойдзена з закона захавання імпульсу:

${\displaystyle }$

дзе ${\displaystyle }$ гэта агульная хуткасць цел, атрыманая пасля ўдару, ${\displaystyle }$ і ${\displaystyle }$ — маса і хуткасць першага цела да сутыкнення, ${\displaystyle }$ і ${\displaystyle }$ — маса і хуткасць другога цела да сутыкнення. Важна адзначыць, што імпульсы з’яўляюцца вектарнымі велічынямі, таму складаюцца толькі вектарна:

${\displaystyle }$.

Як і пры любым ўдары, пры гэтым выконваюцца закон захавання імпульсу і закон захавання моманту імпульсу, але не выконваецца закон захавання механічнай энергіі. Частка кінэтычнай энергіі цел, якія сутыкаюцца, ў выніку няпругкіх дэфармацый пераходзіць у цеплавую. У выпадку абсалютна няпругкіх ўдару механічная энергія памяншаецца на максімальна магчымую велічыню, не супярэчную закону захавання імпульсу. Дадзенае сцвярджэнне можна прыняць за вызначэнне абсалютна няпругкіх ўдару ў тэрмінах энергіі. Пры дапамозе тэарэмы Кенінга лёгка паказаць, што ў гэтым выпадку целы працягваюць рух як адзінае цэлае, паколькі ў сістэме адліку, звязанай з цэнтрам мас, целы прыходзяць у пакой, і адпаведная кампанента кінэтычнай энергіі становіцца роўнай нулю, тады як кампанента кінэтычнай энергіі, якая апісвае рух сукупнай масы ўсёй сістэмы павінна застацца нязменнай з прычыны закона захавання імпульсу.

Добрая мадэль абсалютна няпругкага ўдару — пластылінавыя шарыкі, якія сутыкаюцца.

Рэальны ўдар

Пры рэальным ўдары макраскапічных цел адбываецца дэфармацыя цел якія сутыкаюцца, і распаўсюджванне па ім пругкіх хвалі, якія перадаюць ўзаемадзеянне ад межаў, якія сутыкаюцца, па ўсім целе. Хай сутыкаюцца аднолькавыя целы. Калі c — хуткасць гуку ў целе, L — характэрны памер кожнага цела, тады час ўдару будзе парадку ${\displaystyle }$. Множнік 2 адпавядае распаўсюджванню хвалі ў прамым і зваротным кірунку. Адпаведна, сістэму цел, якія сутыкаюцца, можна лічыць замкнёнай, калі імпульс знешніх сіл за час t малы ў параўнанні з імпульсамі цел. Акрамя таго, сам час t павінен быць досыць малым, у адваротным выпадку становіцца праблематычна ацаніць страты энергіі на дэфармацыі за час ўдару (частка энергіі заўсёды расходуецца на ўнутранае трэнне), а само апісанне цел, якія сутыкаюцца, становіцца няпоўным з-за істотнага ўкладу ўнутраных ступеняў свабоды. Неабходна, каб усе дэфармацыі пры ўдары былі істотна менш, чым памеры цел.

Літаратура

• Сивухин Д. В. Механика. — М: Наука, 1979. — 520 с.