Формула Герона

Фо́рмула Герона дазваляе вылічыць плошчу трохвугольніка (S) па яго баках a, b, c:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

дзе p — паўперыметр трохвугольніка: $p={\frac {a+b+c}{2}}$.

Доказ:  

$S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }$,

дзе $\ \gamma$ — вугал трохвугольніка, процілеглы баку $c$. Па тэарэме косінусаў:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,$

Адсюль:

$\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},$

Значыць,

$\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$

$={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=$

$={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Заўважаючы, што $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, атрымліваем:

$\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.$

Такім чынам,

$S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

Q.E.D.

Гісторыя

Формула Герона

Гэта формула ўтрымліваецца ў «Метрыцы» Герона Александрыйскага (I стагоддзя н. э.) і названая ў яго гонар. Герон цікавіўся трохвугольнікамі з цэлалікавымі бакамі, плошчы якіх таксама з’яўляюцца цэлымі. Такія трохвугольнікі носяць назву геронавых трохвугольнікаў. Прасцейшым геронавым трохвугольнікам з’яўляецца егіпецкі трохвугольнік.

Варыяцыі і абагульненні

• Выразіўшы паўперыметр праз паўсуму ўсіх бакоў дадзенага трохвугольніка, прыйдзем да формулы выгляду:

  $S={\frac {\sqrt {(-1)(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})}}{4}}$

• Плошча ўпісанага ў акружнасць чатырохвугольніка вылічваецца па формуле Брахмагупты:

  $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},$

дзе $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ — паўперыметр чатырохвугольніка. (Трохвугольнік з’яўляецца лімітавым выпадкам упісанага чатырохвугольніка пры памкненні даўжыні адной з бакоў да нуля.)

• Тэарэма Люілье. Плошча сферычнага трохвугольніка выяўляецца праз яго бакі $\theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}$ як:

  $S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}$, где $\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}$ — паўпрыметр.

• Для тэтраэдраў з’яўляецца ісціннай формула Герона — Тарталья, якая абагульнена таксама на выпадак іншых мнагаграннікаў (гл. выгінаныя мнагаграннікі): калі ў тэтраэдра даўжыні кантаў роўныя $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$, то для яго аб’ёма $V$ ісцінны выраз

  $144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})+l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})+l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})-l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}$.

• Формулу Герона можна запісаць з дапамогай вызначальніка ў выглядзе:

  $16S^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}$

Яна з’яўляецца прыватным выпадкам вызначальніка Кэлі — Менгера для вылічэння гіпераб’ёма сімплекса.

Гл. таксама

• Тэарэма катангенсаў

Літаратура

• §258 у А. П. Киселёв. "Геометрия по Киселёву". arXiv:1806.06942 [math.HO]. {{cite arxiv}}: Невядомы параметр |version= ігнараваны (даведка)
• Николаев Н. О площади треугольника(руск.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
• Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron’s Formula(англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Т. 44. — С. 27—28. — доказ формулы Герона на аснове тэарэмы Піфагора