Аналітычная функцыя

Аналіты́чная фу́нкцыя — функцыя, значэнне якой у кожным пункце яе вобласці вызначэння роўнае суме ступеннага рада, які збягаецца ў некаторым наваколлі гэтага пункта.

Да аналітычных функцый адносяцца: рацыянальная функцыя, паказнікавая функцыя, лагарыфмічная функцыя, трыганаметрычныя функцыі, адваротныя трыганаметрычныя функцыі, іх разнастайныя кампазіцыі, а таксама функцыі, адваротныя да гэтых кампазіцый. Існуюць аналітычныя функцыі аднаго або некалькіх рэчаісных ці камплексных пераменных.

Азначэнне

Функцыя f(z) аднаго камплектнага пераменнага z=х+іу называецца аналітычнай у пункце z₀, калі ў некаторым наваколлі h гэтага пункта існуе канечная вытворная

$f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$

(дыферэнцавальнасць функцыі), што мае месца, калі і толькі калі выконваецца ўмова Кашы—Рымана:

${i{\dfrac {\partial f}{\partial x}}}={\dfrac {\partial f}{\partial y}}.$

Гісторыя

Асновы тэорыі аналітычных функцый былі закладзены А.Кашы, Б.Рыманам і К.Веерштрасам, С. В. Кавалеўскай і інш.

На Беларусі даследаванні па тэорыі аналітычных функцый пачаліся ў 1930-я г. ў БДУ (М. В. Ламбін, М. Л. Лукомская), з 1960-х гадоў праводзяцца ў АН, БДУ і іншых ВНУ рэспублікі (Ф. Д. Гахаў, Э. І. Звяровіч і інш.).

Прыкладанні

Аналітычныя функцыі маюць шматлікія прымяненні ў матэматычным аналізе (вылічэнне вызначаных інтэгралаў), у геаметрыі (канформныя адлюстраванні), у тэорыі пругкасці, гідрадынаміцы, электрадынаміцы і іншых навуках.

Гл. таксама

• Інтэграл Кашы
• Тэарэма Кашы

Літаратура

• Аналітычная функцыя // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 1: А — Аршын / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1996. — Т. 1. С. 335.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1—2. М., 1967—68.
• Шабат Б. В. Введенне в комплексный анализ. Ч. 1—2. 3 изд. М., 1985.
• Гахов Ф. Д. Краевые задачи. З изд. М., 1977.