Арыфметычная прагрэсія

Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a1, a2, a3, ..., кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі[1][2].

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a1 і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку an+1 - an = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

УласцівасціПравіць

Агульны член арыфметычнай прагрэсііПравіць

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам n можа быть вылічаны па формуле

 

дзе a1 — першы член прагрэсіі, d — яе рознасць.

Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсііПравіць

Паслядоўнасць   ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

 

Сума першых n членаў арыфметычнай прагрэсііПравіць

Суму першых   элементаў арыфметычнай прагрэсіі   можна вылічыць па формулах

 

або

 

дзе a1 — першы член прагрэсіі, an — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.

Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіяміПравіць

Няхай   — арыфметычная прагрэсія з рознасцю   і лік  . Тады паслядоўнасць выгляду   ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам  .

Збежнасць арыфметычнай прагрэсііПравіць

Арыфметычная прагрэсія   разбягаецца пры   і збягаецца пры  . Прычым

 

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаўПравіць

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.

Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.

ПрыкладыПравіць

  • Натуральны рад   — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент  , а рознасць  .
  •   — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе   і  .
  • Суму першых   натуральных лікаў можна вылічыць па формуле
 

Гл. таксамаПравіць

Крыніцы і спасылкіПравіць

  1. БЭ ў 18 т. Т. 2.
  2. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.І. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Вонкавыя спасылкіПравіць