Бэта-функцыя

У матэматыцы бэта-функцыяй (Β-функцыяй, бэта-функцыяй Эйлера або Эйлеравым інтэгралам I-га роду) называецца наступная спецыяльная функцыя ад двух зменных:

Графік бэта-функцыі пры рэчаісных аргументах

вызначаная пры

Бэта-функцыя была даследавана Эйлерам і Лежандрам, А назву ёй даў Жак Бінэ.

УласцівасціПравіць

Бэта-функцыя сіметрычная адносна перастаноўкі зменных, гэта значыць

 

Бэта-функцыю можна выразіць праз іншыя функцыі:

 

дзе  гама-функцыя;

 
 
 

дзе   — сыходны фактарыял, роўны  

Як гама-функцыя для цэлых лікаў з'яўляецца абагульненнем фактарыяла, так і бэта-функцыя з'яўляецца абагульненнем бінаміяльных каэфіцыентаў з трохі змененымі параметрамі:

 

ВытворныяПравіць

Частковыя вытворныя у бэта-функцыі наступныя:

 

дзе  дыгама-функцыя.

Няпоўная бэта-функцыяПравіць

Няпоўная бэта-функцыя — гэта абагульненне бэта-функцыі, якое замяняе інтэграл па адрэзку   на інтэграл з пераменнай верхняй мяжой:

 

Пры   няпоўная бэта-функцыя супадае з поўнай.

Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя вызначаецца праз поўную і няпоўную бэта-функцыі:

 

Уласцівасці рэгулярызаванай няпоўнай бэта-функцыіПравіць

 
 
 
 

Гл. таксамаПравіць

ЛітаратураПравіць

  • Битюцков В. И. Бета-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

СпасылкіПравіць