Вонкавая мера

Вонкавая мера (або знешняя мера) — адно з абагульненняў паняццяў даўжыні, плошчы і аб'ёму; з'яўляецца рэчаісназначнаю функцыяй, вызначанай на ўсіх падмноствах прасторы, якая адпавядае некаторым дадатковым умовам.

Гісторыя

Агульная тэорыя вонкавае меры была распрацована Канстанцінам Каратэадоры з мэтай стварыць падмурак для тэорыі вымерных мностваў і злічальна-адытыўных мер. Працы Каратэадоры па вонкавай меры знайшлі нямала прымяненняў у тэорыі вымерных мностваў. Напрыклад, вонкавая мера выкарыстоўваецца ў доказе фундаментальнай тэарэмы Каратэадоры аб працягу меры), таксама яна была выкарыстана Хаусдорфам для вызначэння метрычнага інварыянта, які абагульняе паняцце размернасці, цяпер ён называецца размернасцю Хаусдорфа.

Выпадак лікавай прамой

Для адвольнага падмноства $E$ лікавай прамой можна знайсці неабмежавана многа розных сістэм, які складаюцца з канечнай ці злічальнай колькасці прамежкаў, аб'яднанне якіх утрымлівае мноства $E.$ Назавём такія сістэмы пакрыццямі. А раз для любога пакрыцця сума даўжынь прамежкаў, якія яго ўтвараюць, — велічыня неадмоўная, то яна абмежавана знізу, і таму мноства даўжынь усіх пакрыццяў мае дакладную ніжнюю мяжу. Гэта мяжа, якая залежыць толькі ад мноства $E,$ і называецца вонкаваю мерай:

$m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.$

Іншы раз вонкавую меру абазначаюць як:

$m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.$

Аксіяматычнае азначэнне

Няхай X — пэўнае ўніверсальнае мноства.

Вонкавая мера на мностве X — гэта функцыя

$\mu ^{*}\colon 2^{X}\to [0,+\infty ],$

якая вызначана на ўсіх падмноствах мноства X і адпавядае наступным умовам:

1. нуль на пустом мностве: пустое мноства мае нулявую вонкавую меру

   $\mu ^{*}(\varnothing )=0;$

2. манатоннасць: для любых двух падмностваў A і B мноства X

   $A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B);$

3. злічальная паўадытыўнасць: для любой паслядоўнасці $\{A_{n}\}$ падмностваў мноства X справядліва няроўнасць:

   $\mu ^{*}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n}).$

Пашырэнне мер (канструктыўнае азначэнне)

Няхай $\mu$ — мера, вызначаная на некаторым колцы K падмностваў мноства X. Справядліва наступная тэарэма:

Няхай функцыя $\mu ^{*}$ вызначана на мностве $2^{X}$ з дапамогай правіла: калі існуе хоць адно злічальнае пакрыццё мноства $A\subseteq X$ элементамі з колца K, то $\mu ^{*}(A):=\inf \left\{\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}):A_{n}\in K,\ n\geq 1,\ A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right\},$ у адваротным выпадку $\mu ^{*}(A):=+\infty .$ Тады $\mu ^{*}$ з'яўляецца вонкавай мерай на X, а на колцы K супадае з мерай $\mu .$

Часта гэту тэарэму прымаюць у якасці азначэння вонкавай меры. Пры гэтым аксіёмы вонкавай меры (а іменна, нуль на пустом мностве, манатоннасць і злічальная паўадытыўнасць) выводзяцца з аксіём звычайнай меры як уласцівасці (тэарэмы).

Уласцівасці вонкавай меры

• Для любога падмноства A і любой паслядоўнасці $\{A_{n}\}$ падмностваў мноства X

  $A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n}).$

Доказ: з аксіём манатоннасці і злічальнай адытыўнасці маем:

$A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n}).$

μ^*-вымерныя мноствы

Дапаўненне мноства E ў X абазначым як E':

$E'=X\setminus E.$

Няхай $\mu ^{*}$ — некаторая вонкавая мера, вызначаная на мностве X.

Мноства $E\subset X$ называецца $\mu ^{*}$-вымерным, калі для любога $A\subset X$ справядліва роўнасць:

$\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap E').$

Гл. таксама

• Мера Лебега
• Тэарэма Каратэадоры аб працягу меры

Літаратура

• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989