Выпадковая велічыня

Выпадковая велічыня — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня, а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую вымерную прастору, часта рэчаісных лікаў.

Азначэнне

Вызначым спачатку ${\mathcal {A}}$-вымерную функцыю. Функцыя $f:\Omega \to \mathbb {R}$ называецца ${\mathcal {A}}$-вымернай для некаторай σ-алгебры ${\mathcal {A}}$, калі для кожнага $x\in \mathbb {R}$ выконваецца

$$f^{-1}((-\infty ,x)):=\{\omega \in \Omega |f(\omega )<x\}\in {\mathcal {A}}$$

Выпадковай велічынёй называецца ${\mathcal {A}}$-вымерная функцыя $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$, абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей $\Omega$ імавернаснай прасторы $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$^:69.

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага барэлеўскага падмноства $B\subset \mathbb {R}$ праўдзіцца $\xi ^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}$. Аналагічным чынам замест $(\xi <x)$ у азначэнні можна браць $(\xi \leq x)$, $(\xi >x)$, $(\xi \geq x)$, $(x_{1}\leq \xi \leq x_{2})$ і г.д.^:70

Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе імавернасная мера. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у тэорыі імавернасцей найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у тэорыі меры такога пытання як правіла не ставіцца^:69.

Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя грэчаскія літары ($\xi$, $\eta$ і г.д.) або вялікія лацінскія ($X$, $Y$ і г.д.)

Размеркаванне выпадковай велічыні

Асноўны артыкул: Размеркаванне імавернасцей

Размеркаваннем выпадковай велічыні $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ называецца імавернасная мера $P_{\xi }:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў $B\subset \mathbb {R}$ з дапамогай роўнасці $P_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P(\xi ^{-1}(B)).$

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя $F_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, якая вызначаецца праз роўнасць $F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .$

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання^:70-71.

Прыклады

• Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, г.зн.

  $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.$

Тады яе матэматычнае спадзяванне

$M[X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

раўняецца сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.

• Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку $[a,b]$, дзе $a<b$. Тады яе шчыльнасць мае выгляд

  $f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x),$

а матэматычнае спадзяванне роўнае

$M[X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}.$

Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Класіфікацыя

Выпадковыя велічыні могуць прымаць дыскрэтныя, непарыўныя і дыскрэтна-непарыўныя значэнні. Адпаведна выпадковыя велічыні бываюць:

• дыскрэтныя,
• непарыўныя,
• дыскрэтна-непарыўныя (змешаныя).

На схеме выпрабаванняў можа быць вызначана як асобная выпадковая велічыня (аднамерная/скалярная), так і цэлая сістэма аднамерных узаемазвязаных велічынь (мнагамерная/вектарная).

• Прыклад змешанай выпадковай велічыні — час чакання пры пераходе цераз аўтамабільную дарогу ў горадзе на нерэгулюемым скрыжаванні.
• У бесканечных схемах (дыскрэтных ці непарыўных) ужо з самага пачатку элементарныя зыходы зручна апісваць колькасна. Напрыклад, нумары градацый тыпаў няшчасных выпадкаў пры аналізе ДТЗ; час спраўнай работы прыбора пры кантролі якасці і г.д.
• Лікавыя значэнні, якія апісваюць вынікі эксперыментаў, могуць характарызаваць не абавязкова асобныя элементарныя зыходы ў схеме выпрабаванняў, але і адпавядаць нейкім больш складаным падзеям.

З адною схемай выпрабаванняў і з асобнымі падзеямі ў ёй адначасова можа быць звязана адразу некалькі лікавых велічынь, якія аналізуюцца сумесна.

• Напрыклад, каардынаты (абсцыса, ардыната) разрыву снарада пры стральбе па наземнай цэлі; метрычныя памеры (даўжыня, шырыня і г. д.) дэталі пры кантролі якасці; вынікі медабследавання (тэмпература, ціск, пульс і інш.) пры дыягностыцы хворага; дадзеныя перапісу насельніцтва (па ўзросту, полу, дастатку і інш.).

Метады апісання

Часткова задаць выпадковую велічыню, апісаўшы пры гэтым яе імавернасныя ўласцівасці як асобнай выпадковай велічыні, можна з дапамогай функцыі размеркавання, шчыльнасці імавернасці і характарыстычнай функцыі, а таксама вызначаючы імавернасці яе магчымых значэнняў.

Функцыя размеркавання F(x) ёсць імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні меншае за рэчаісны лік x. З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак [a, b) роўная F(b) - F(a). Перавагі выкарыстання функцыі размеркавання заключаюцца ў том, што з яе дапамогаю ўдаецца дасягнуць агульнага матэматычнага апісання дыскрэтных, непарыўных і дыскрэтна-непарыўных выпадковых велічынь.

Калі выпадковая велічыня дыскрэтная, то поўнае і адназначнае матэматычнае апісанне яе размеркавання задаецца імавернасцямі $p_{k}=P(\xi =x_{k})$ усіх магчымых значэнняў гэтай выпадковай велічыні. У якасці прыкладу разгледзім біномны і пуасонаўскі законы размеркавання.

Біномны закон размеркавання апісвае выпадковыя велічыні, значэнні якіх вызначаюць колькасць «поспехаў» і «няўдач» пры паўтарэнні выпрабавання N разоў. У кожным выпрабаванні «поспех» можа наступіць з імавернасцю p, «няўдача» — з імавернасцю q = 1 - p. Закон размеркавання ў гэтым выпадку задаецца формулай Бернулі:

$P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}.$

Калі пры імкненні $n$ к бесканечнасці здабытак $np$ застаецца роўным пастаяннай $\lambda >0$, то біномны закон размеркавання збягаецца к закону Пуасона, які апісваецца наступнаю формулай:

$p(k):=\mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda },$

дзе

• сімвал «$!$» абазначае фактарыял,
• $e=2.718281828\ldots$ — аснова натуральнага лагарыфма.

Найпрасцейшыя абагульненні

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

• Вымерная функцыя $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ называецца n-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай $\sigma$-алгебры на $\mathbb {R} ^{n}$).
• Вымерная функцыя $X:\Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ называецца n-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай $\sigma$-алгебры).
• Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама

• Выпадковы працэс
• Функцыя размеркавання
• Матэматычнае спадзяванне

Літаратура

• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
• Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
• Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Спасылкі

• Многомерные случайные величины (руск.)