Выпадковая велічыня

Выпадковая велічыня — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня[1], а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую вымерную прастору[en], часта рэчаісных лікаў.

Азначэнне Правіць

Вызначым спачатку  -вымерную[en] функцыю. Функцыя   называецца  -вымернай для некаторай σ-алгебры  , калі для кожнага   выконваецца

 

Выпадковай велічынёй называецца  -вымерная функцыя  , абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей   імавернаснай прасторы  [2]:69.

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага барэлеўскага падмноства[en]   праўдзіцца  . Аналагічным чынам замест   у азначэнні можна браць  ,  ,  ,   і г.д.[2]:70

Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе імавернасная мера. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у тэорыі імавернасцей найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у тэорыі меры такога пытання як правіла не ставіцца[2]:69.

Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя грэчаскія літары ( ,   і г.д.) або вялікія лацінскія ( ,   і г.д.)

Размеркаванне выпадковай велічыні Правіць

Размеркаваннем выпадковай велічыні   называецца імавернасная мера  , зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў   з дапамогай роўнасці  

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя  , якая вызначаецца праз роўнасць  

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання[2]:70-71.

Прыклады Правіць

Тады яе матэматычнае спадзяванне
 
раўняецца сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.
  • Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку  , дзе  . Тады яе шчыльнасць мае выгляд
     
а матэматычнае спадзяванне роўнае
 

Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Класіфікацыя Правіць

Выпадковыя велічыні могуць прымаць дыскрэтныя, непарыўныя і дыскрэтна-непарыўныя значэнні. Адпаведна выпадковыя велічыні бываюць:

  • дыскрэтныя,
  • непарыўныя,
  • дыскрэтна-непарыўныя (змешаныя).

На схеме выпрабаванняў можа быць вызначана як асобная выпадковая велічыня (аднамерная/скалярная), так і цэлая сістэма аднамерных узаемазвязаных велічынь (мнагамерная/вектарная).

  • Прыклад змешанай выпадковай велічыні — час чакання пры пераходе цераз аўтамабільную дарогу ў горадзе на нерэгулюемым скрыжаванні.
  • У бесканечных схемах (дыскрэтных ці непарыўных) ужо з самага пачатку элементарныя зыходы зручна апісваць колькасна. Напрыклад, нумары градацый тыпаў няшчасных выпадкаў пры аналізе ДТЗ; час спраўнай работы прыбора пры кантролі якасці і г.д.
  • Лікавыя значэнні, якія апісваюць вынікі эксперыментаў, могуць характарызаваць не абавязкова асобныя элементарныя зыходы ў схеме выпрабаванняў, але і адпавядаць нейкім больш складаным падзеям.

З адною схемай выпрабаванняў і з асобнымі падзеямі ў ёй адначасова можа быць звязана адразу некалькі лікавых велічынь, якія аналізуюцца сумесна.

  • Напрыклад, каардынаты (абсцыса, ардыната) разрыву снарада пры стральбе па наземнай цэлі; метрычныя памеры (даўжыня, шырыня і г. д.) дэталі пры кантролі якасці; вынікі медабследавання (тэмпература, ціск, пульс і інш.) пры дыягностыцы хворага; дадзеныя перапісу насельніцтва (па ўзросту, полу, дастатку і інш.).

Метады апісання Правіць

Часткова задаць выпадковую велічыню, апісаўшы пры гэтым яе імавернасныя ўласцівасці як асобнай выпадковай велічыні, можна з дапамогай функцыі размеркавання, шчыльнасці імавернасці і характарыстычнай функцыі, а таксама вызначаючы імавернасці яе магчымых значэнняў.

Функцыя размеркавання F(x) ёсць імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні меншае за рэчаісны лік x. З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак [a, b) роўная F(b) - F(a). Перавагі выкарыстання функцыі размеркавання заключаюцца ў том, што з яе дапамогаю ўдаецца дасягнуць агульнага матэматычнага апісання дыскрэтных, непарыўных і дыскрэтна-непарыўных выпадковых велічынь.

Калі выпадковая велічыня дыскрэтная, то поўнае і адназначнае матэматычнае апісанне яе размеркавання задаецца імавернасцямі   усіх магчымых значэнняў гэтай выпадковай велічыні. У якасці прыкладу разгледзім біномны і пуасонаўскі законы размеркавання.

Біномны закон размеркавання апісвае выпадковыя велічыні, значэнні якіх вызначаюць колькасць «поспехаў» і «няўдач» пры паўтарэнні выпрабавання N разоў. У кожным выпрабаванні «поспех» можа наступіць з імавернасцю p, «няўдача» — з імавернасцю q = 1 - p. Закон размеркавання ў гэтым выпадку задаецца формулай Бернулі:

 

Калі пры імкненні   к бесканечнасці здабытак   застаецца роўным пастаяннай  , то біномны закон размеркавання збягаецца к закону Пуасона, які апісваецца наступнаю формулай:

 

дзе

Найпрасцейшыя абагульненні Правіць

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

  • Вымерная функцыя   называецца n-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай  -алгебры на  ).
  • Вымерная функцыя   называецца n-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай  -алгебры).
  • Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама Правіць

Зноскі

  1. Deisenroth, Marc Peter (2020). Mathematics for machine learning. A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47004-9. OCLC 1104219401. https://www.worldcat.org/oclc/1104219401. 
  2. а б в г Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.

Літаратура Правіць

  • Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
  • Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
  • Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Спасылкі Правіць