Выпадковая велічыня
Выпадковая велічыня — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня[1], а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую вымерную прастору , часта рэчаісных лікаў.
Азначэнне Правіць
Вызначым спачатку -вымерную функцыю. Функцыя называецца -вымернай для некаторай σ-алгебры , калі для кожнага выконваецца
Выпадковай велічынёй называецца -вымерная функцыя , абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей імавернаснай прасторы [2] .
З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага барэлеўскага падмноства праўдзіцца . Аналагічным чынам замест у азначэнні можна браць , , , і г.д.[2]
Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе імавернасная мера. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у тэорыі імавернасцей найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у тэорыі меры такога пытання як правіла не ставіцца[2] .
Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя грэчаскія літары ( , і г.д.) або вялікія лацінскія ( , і г.д.)
Размеркаванне выпадковай велічыні Правіць
Размеркаваннем выпадковай велічыні называецца імавернасная мера , зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў з дапамогай роўнасці
Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя , якая вызначаецца праз роўнасць
Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання[2] .
Прыклады Правіць
- Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, г.зн.
- Тады яе матэматычнае спадзяванне
- раўняецца сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.
- Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку , дзе . Тады яе шчыльнасць мае выгляд
- а матэматычнае спадзяванне роўнае
Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.
Класіфікацыя Правіць
Выпадковыя велічыні могуць прымаць дыскрэтныя, непарыўныя і дыскрэтна-непарыўныя значэнні. Адпаведна выпадковыя велічыні бываюць:
- дыскрэтныя,
- непарыўныя,
- дыскрэтна-непарыўныя (змешаныя).
На схеме выпрабаванняў можа быць вызначана як асобная выпадковая велічыня (аднамерная/скалярная), так і цэлая сістэма аднамерных узаемазвязаных велічынь (мнагамерная/вектарная).
- Прыклад змешанай выпадковай велічыні — час чакання пры пераходе цераз аўтамабільную дарогу ў горадзе на нерэгулюемым скрыжаванні.
- У бесканечных схемах (дыскрэтных ці непарыўных) ужо з самага пачатку элементарныя зыходы зручна апісваць колькасна. Напрыклад, нумары градацый тыпаў няшчасных выпадкаў пры аналізе ДТЗ; час спраўнай работы прыбора пры кантролі якасці і г.д.
- Лікавыя значэнні, якія апісваюць вынікі эксперыментаў, могуць характарызаваць не абавязкова асобныя элементарныя зыходы ў схеме выпрабаванняў, але і адпавядаць нейкім больш складаным падзеям.
З адною схемай выпрабаванняў і з асобнымі падзеямі ў ёй адначасова можа быць звязана адразу некалькі лікавых велічынь, якія аналізуюцца сумесна.
- Напрыклад, каардынаты (абсцыса, ардыната) разрыву снарада пры стральбе па наземнай цэлі; метрычныя памеры (даўжыня, шырыня і г. д.) дэталі пры кантролі якасці; вынікі медабследавання (тэмпература, ціск, пульс і інш.) пры дыягностыцы хворага; дадзеныя перапісу насельніцтва (па ўзросту, полу, дастатку і інш.).
Метады апісання Правіць
Часткова задаць выпадковую велічыню, апісаўшы пры гэтым яе імавернасныя ўласцівасці як асобнай выпадковай велічыні, можна з дапамогай функцыі размеркавання, шчыльнасці імавернасці і характарыстычнай функцыі, а таксама вызначаючы імавернасці яе магчымых значэнняў.
Функцыя размеркавання F(x) ёсць імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні меншае за рэчаісны лік x. З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак [a, b) роўная F(b) - F(a). Перавагі выкарыстання функцыі размеркавання заключаюцца ў том, што з яе дапамогаю ўдаецца дасягнуць агульнага матэматычнага апісання дыскрэтных, непарыўных і дыскрэтна-непарыўных выпадковых велічынь.
Калі выпадковая велічыня дыскрэтная, то поўнае і адназначнае матэматычнае апісанне яе размеркавання задаецца імавернасцямі усіх магчымых значэнняў гэтай выпадковай велічыні. У якасці прыкладу разгледзім біномны і пуасонаўскі законы размеркавання.
Біномны закон размеркавання апісвае выпадковыя велічыні, значэнні якіх вызначаюць колькасць «поспехаў» і «няўдач» пры паўтарэнні выпрабавання N разоў. У кожным выпрабаванні «поспех» можа наступіць з імавернасцю p, «няўдача» — з імавернасцю q = 1 - p. Закон размеркавання ў гэтым выпадку задаецца формулай Бернулі:
Калі пры імкненні к бесканечнасці здабытак застаецца роўным пастаяннай , то біномны закон размеркавання збягаецца к закону Пуасона, які апісваецца наступнаю формулай:
дзе
- сімвал « » абазначае фактарыял,
- — аснова натуральнага лагарыфма.
Найпрасцейшыя абагульненні Правіць
Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,
- Вымерная функцыя называецца n-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай -алгебры на ).
- Вымерная функцыя называецца n-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай -алгебры).
- Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.
Гл. таксама Правіць
Зноскі
- ↑ Deisenroth, Marc Peter (2020). Mathematics for machine learning. A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47004-9. OCLC 1104219401. https://www.worldcat.org/oclc/1104219401.
- ↑ а б в г Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
Літаратура Правіць
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
- Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
- Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
Спасылкі Правіць
- Многомерные случайные величины (руск.)