Гіпотэза Рымана

Гіпо́тэза Ры́мана - здагадка аб размеркаванні нулёў дзэта-функцыі Рымана. Яна сцвярджае, што ўсе нетрывіяльныя нулі Рыманавай дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку 12. Гіпотэза была сфармулявана Бернхардам Рыманам у 1859 годзе.

Задачы тысячагоддзя
Роўнасць класаў P і NP
Гіпотэза Ходжа
Гіпотэза Пуанкарэ
Гіпотэза Рымана
Квантавая тэорыя Янга — Мілса
Існаванне і гладкасць  рашэнняў ураўненняў Наўе — Стокса
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

Пакуль невядома якой-небудзь заканамернасці, якая апісвала б размеркаванне простых лікаў сярод натуральных. Рыман выявіў, што колькасць простых лікаў, не большых за x, — функцыя размеркавання простых лікаў, якая абазначаецца праз π(x), — выражаецца праз размеркаванне так званых «нетрывіяльных нулёў» дзэта-функцыі.

Многія сцвярджэнні аб размеркаванні простых лікаў, у тым ліку аб вылічальнай складанасці некаторых цэлалікавых алгарытмаў, даказаныя пры дапушчэнні справядлівасці гіпотэзы Рымана.

Гіпотэза Рымана ўваходзіць у спіс сямі «праблем тысячагоддзя», за рашэнне кожнай з якіх Матэматычны інстытут Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембрыдж, Масачусетс) выплаціць узнагароду ў адзін мільён долараў ЗША. У выпадку апублікавання контрпрыкладу да гіпотэзы Рымана, вучоны савет інстытута Клэя мае права вырашыць, ці можна лічыць гэты контрпрыклад канчатковым рашэннем праблемы, ці праблему можна перафармуляваць у вузейшай форме і пакінуць адкрытай (у апошнім выпадку аўтару контрпрыкладу можа быць выплачана невялікая частка ўзнагароды).

Фармулёўка

Рэчаісная (чырвоная) і ўяўная (сіняя) часткі дзэта-функцыі

Дзэта-функцыя Рымана $\zeta (s)$ вызначана для ўсіх камплексных $s\neq 1$ і мае нулі ў адмоўных цотных $s=-2,-4,-6\dots$.

З функцыянальнага ўраўнення

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s}\sin {\pi s \over 2}{\frac {1}{\sin \pi s\Gamma (s)}}\zeta (1-s)$

і яўнага выразу

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$    пры $\operatorname {Re} s>1,$

дзе $\mu (n)$ — функцыя Мёбіуса, вынікае, што ўсе астатнія нулі, якія называюцца «нетрывіяльнымі», размяшчаюцца ў паласе $0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1$ сіметрычна адносна так званай «крытычнай лініі» ${1 \over 2}+it,\;t\in \mathbb {R}$.

Гіпотэза Рымана

Гіпотэза Рымана сцвярджае, што:

Усе нетрывіяльныя нулі дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку, роўную 12.

Абагульненая гіпотэза Рымана

Асноўны артыкул: Абагульненая гіпотэза Рымана

Абагульненая гіпотэза Рымана складаецца з таго ж самага сцвярджэння для абагульненняў дзэта-функцыі, якія называюцца L-функцыямі Дзірыхле.

Раўназначныя фармулёўкі

У 1901 годзе Хельге фон Кох паказаў, што гіпотэза Рымана раўназначная наступнаму сцвярджэнню аб размеркаванні простых лікаў:

$\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)$ при $x\rightarrow \infty .$

Ёсць яшчэ некалькі раўназначных фармулёвак:

• Для ўсіх $x\geqslant 2657$ выконваецца няроўнасць

  $\left|\pi (x)-\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln x,$

• Для ўсіх $x\geqslant 73.2$ справядліва няроўнасць

  $|\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}(x),$

• Для ўсіх $n>5040$ верная няроўнасць

  $\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n,$

дзе σ(n) — функцыя дзельнікаў ліку n, а γ — пастаянная Эйлера — Маскероні.

• Для ўсіх $n>1$ спраўджваецца няроўнасць

  $\sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\ln H_{n},$

дзе H_n — n-ы гарманічны лік.

• Для любога дадатнага $\varepsilon$ выконваецца няроўнасць

  $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon }),$

дзе M(n) — функцыя Мертэнса, гл. таксама абазначэнне O вялікае. Мацнейшая гіпотэза $|M(n)|<{\sqrt {n}}\,$ была абвергнута ў 1985 годзе.

• Гіпотэза Рымана раўназначная наступнай роўнасці:

  $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(1-12t^{2})}{(1+4t^{2})^{3}}}\int \limits _{1/2}^{\infty }\log |\zeta (\sigma +it)|\,d\sigma \,dt={\frac {\pi (3-\gamma )}{32}}$.

• Калі гіпотэза Рымана несправядлівая, то існуе алгарытм, які рана ці позна выявіць яе парушэнне. Адсюль вынікае, што калі адмаўленне гіпотэзы Рымана недаказальнае ў арыфметыцы Пеана, то гіпотэза Рымана верная.

• Гіпотэза Рымана таксама раўназначная сцвярджэнню, што наступнае дыяфантава ўраўненне не мае рашэнняў у неадмоўных цэлых ліках:

${\begin{aligned}&(elg^{2}+\alpha -(b-xy)q^{2})^{2}+(q-b^{5^{60}})^{2}+(\lambda +q^{4}-1-\lambda b^{5})^{2}+\\&(\theta +2z-b^{5})^{2}+(u+t\theta -l)^{2}+(y+m\theta -e)^{2}+(n-q^{16})^{2}+\\&((g+eq^{3}+lq^{5}+(2(e-z\lambda )(1+xb^{5}+g)^{4}+\lambda b^{5}+\lambda b^{5}q^{4})q^{4})(n^{2}-n)+\\&(q^{3}-bl+l+\theta \lambda q^{3}+(b^{5}-2)q^{5})(n^{2}-1)-r)^{2}+\\&(p-2ws^{2}r^{2}n^{2})^{2}+(p^{2}k^{2}-k^{2}+1-\tau ^{2})^{2}+\\&(4(c-ksn^{2})^{2}+\eta -k^{2})^{2}+(r+1+hp-h-k)^{2}+\\&(a-(wn^{2}+1)rsn^{2})^{2}+(2r+1+\phi -c)^{2}+\\&(bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma -d)^{2}+\\&((a^{2}-1)c^{2}+1-d^{2})^{2}+((a^{2}-1)i^{2}c^{4}+1-f^{2})^{2}+\\&(((a+f^{2}(d^{2}-a))^{2}-1)(2r+1+jc)^{2}+1-(d+of)^{2})^{2}+\\&(((z+u+y)^{2}+u)^{2}+y-K)^{2}=0\end{aligned}}$

дзе K — некаторы вялікі фіксаваны цэлалікавы каэфіцыент (які, у прынцыпе, можна запісаць у яўным выглядзе), а астатнія літары абазначаюць зменныя. Ступень гэтага ўраўнення можна панізіць да чатырох цаною павелічэння колькасці зменных.

Гісторыя

У 1896 годзе Адамар і Вале-Пусен незалежна даказалі, што нулі дзэта-функцыі не могуць ляжаць на прамых $\operatorname {Re} \,s=0$ і $\operatorname {Re} \,s=1$.

У 1900 годзе Давід Гільберт уключыў гіпотэзу Рымана ў спіс 23 нерэшаных праблем як частку восьмай праблемы, сумесна з гіпотэзаю Гольдбаха.

У 1914 годзе Хардзі даказаў, што на крытычнай лініі знаходзіцца бесканечна многа нулёў, а пазней сумесна з Літлвудам даў ніжнюю ацэнку долі тых нулёў, што ляжаць на крытычнай лініі. Гэтую ацэнку потым паляпшалі розныя матэматыкі. Таксама ў 1914 годзе Я. П. Громер знайшоў неабходныя і дастатковыя ўмовы справядлівасці гіпотэзы Рымана ў аналітычнай тэорыі лікаў (няроўнасці Громера).

Некаторыя нетрывіяльныя нулі размяшчаюцца экстрэмальна блізка адзін да аднаго. Гэтая ўласцівасць вядома як «з'ява Лемера».

Цітчмарш і Ворас у 1987 годзе паказалі, што дзэта-функцыя можа быць раскладзена ў здабытак праз свае нетрывіяльныя нулі ў раскладанне Адамара.

На 2004 год праверана больш чым 10^{13 першых нулёў.}

Група матэматыкаў Універсітэта Пердзью (ЗША) пад кіраўніцтвам Луі дэ Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) прапанавала доказ гіпотэзы Рымана, які, аднак, аказаўся няправільным.

Меркаванні аб справядлівасці гіпотэзы

У аглядных працах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) адзначаецца, што даныя на карысць справядлівасці гіпотэзы Рымана моцныя, але пакідаюць месца для абгрунтаваных сумненняў. Асобныя аўтары, аднак, упэўненыя ў няправільнасці гіпотэзы (напрыклад, так лічыў Джон Літлвуд).

Сярод вынікаў, якія дазваляюць дапускаць праўдзівасць гіпотэзы, можна выдзяліць паспяховы доказ падобных гіпотэз (у тым ліку, гіпотэзы Рымана аб мнагастайнасцях над канечнымі палямі). Гэта найбольш моцны тэарэтычны довад, які дазваляе меркаваць, што ўмова Рымана выконваецца для ўсіх дзэта-функцый, звязаных з аўтаморфнымі адлюстраваннямі, што ўключае класічную гіпотэзу Рымана. Ісціннасць аналагічнай гіпотэзы ўжо даказана для дзэта-функцыі Сельберга, у нечым падобнай на функцыю Рымана, і для дзэта-функцыі Госа (аналаг дзэта-функцыі Рымана для функцыянальных палёў).

З другога боку, некаторыя з дзэта-функцый Эпштэйна не задавальняюць умову Рымана, хоць і маюць бесканечны лік нулёў на крытычнай лініі. Аднак гэтыя функцыі не выражаюцца праз рады Эйлера і не звязаныя напрамую з аўтаморфнымі адлюстраваннямі.

Да «практычных» довадаў на карысць справядлівасці Рыманавай гіпотэзы адносіцца вылічальная праверка вялікай колькасці нетрывіяльных нулёў дзэта-функцыі ў рамках праекта ZetaGrid.

Звязаныя праблемы

Дзве гіпотэзы Хардзі — Літлвуда

У 1914 годзе Годфры Харальд Хардзі даказаў, што функцыя $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ мае бесканечна многа рэчаісных нулёў.

Няхай $N(T)$ ёсць колькасць рэчаісных нулёў, а $N_{0}(T)$ колькасць нулёў няцотнага парадку функцыі $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$, якія ляжаць на прамежку $(0,T]$.

Дзве гіпотэзы Хардзі і Літлвуда (аб адлегласці паміж рэчаіснымі нулямі $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ і аб шчыльнасці нулёў $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ на прамежках $(T,T+H]$ пры досыць вялікім $T>0$, $H=T^{a+\varepsilon }$ і як можна меншым значэнні $a>0$, дзе $\varepsilon >0$ адвольна малы лік), вызначылі два напрамкі ў даследаванні дзэта-функцыі Рымана:

1. Для любога $\varepsilon >0$ існуе $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$, такое што пры $T\geqslant T_{0}$ і $H=T^{0{,}25+\varepsilon }$ прамежак $(T,T+H]$ утрымлівае нуль няцотнага парадку функцыі $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$.
2. Для любога $\varepsilon >0$ існуюць такія $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ і $c=c(\varepsilon )>0$, што пры $T\geqslant T_{0}$ і $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$ справядліва няроўнасць $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH$.

Гіпотэза А. Сельберга

У 1942 годзе Атле Сельберг даследаваў праблему Хардзі — Літлвуда 2 і даказаў, што для любога $\varepsilon >0$ існуюць $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ і $c=c(\varepsilon )>0$, такія што для $T\geqslant T_{0}$ і $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$ справядліва няроўнасць $N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T$.

У сваю чаргу, Атле Сельберг выказаў гіпотэзу, што можна паменшыць паказчык ступені $a=0{,}5$ для велічыні $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$.

У 1984 годзе А. А. Карацуба даказаў, што пры фіксаваным $\varepsilon$ з умоваю $0<\varepsilon <0{,}001$, даволі вялікім $T$ і $H=T^{a+\varepsilon }$, $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ прамежак $(T,T+H)$ утрымлівае не менш за $cH\ln T$ рэчаісных нулёў дзэта-функцыі Рымана $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}$. Тым самым ён пацвердзіў гіпотэзу Сельберга.

Ацэнкі А. Сельберга і А. А. Карацубы з’яўляюцца непаляпшальнымі па парадку росту пры $T\to +\infty$.

У 1992 годзе А. А. Карацуба даказаў, што аналаг гіпотэзы Сельберга справядлівы для «амаль усіх» прамежкаў $(T,T+H]$, $H=T^{\varepsilon }$, дзе $\varepsilon$ — адвольна малы фіксаваны дадатны лік. Метад, распрацаваны Карацубам, дазваляе даследаваць нулі дзэта-функцыі Рымана на «звышкароткіх» прамежках крытычнай прамой, г.зн. на прамежках $(T,T+H]$, даўжыня $H$ якіх расце павольней за любую, нават адвольна малую, ступень $T$. Сярод іншага, ён даказаў, што для любых зададзеных лікаў $\varepsilon$, $\varepsilon _{1}$ з умоваю $0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1$ амаль усе прамежкі $(T,T+H]$ пры $H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}$ утрымліваюць не менш чым $H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}$ нулёў функцыі $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$. Гэтая ацэнка вельмі блізкая да тае, што вынікае з гіпотэзы Рымана.

Цікавыя факты

• Вядомы адказ Гільберта на пытанне, якія будуць яго дзеянні, калі ён па нейкай прычыне праспіць пяцьсот гадоў і раптам прачнецца. Матэматык адказаў, што перш за ўсё спытае, ці была даказана гіпотэза Рымана.
• Гіпотэза Рымана адносіцца да знакамітых адкрытых праблем матэматыкі, у лік якіх у свой час уваходзіла і тэарэма Ферма. Як вядома, Ферма зрабіў запіс аб тым, што даказаў сваю тэарэму, не пакінуўшы самога доказу, і тым самым кінуў выклік наступным пакаленням матэматыкаў. Брытанскі матэматык Г. Х. Хардзі скарыстаў сітуацыю з гэтымі праблемамі для забеспячэння ўласнай бяспекі ў час марскіх падарожжаў. Кожны раз перад адпраўкаю ў падарожжа ён адпраўляў аднаму са сваіх калег тэлеграму: ДАКАЗАЎ ГІПОТЭЗУ РЫМАНА КРПК ПАДРАБЯЗНАСЦІ ПА ВЯРТАННІ КРПК. Хардзі лічыў, што бог не дапусціць паўтарэння сітуацыі з тэарэмаю Ферма і дазволіць яму шчасліва вярнуцца з плавання.

Гл. таксама

• Адкрытыя матэматычныя праблемы

Літаратура

• Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
• Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — В. 35.
• Bombieri, Enrico (2000). The Riemann Hypothesis - official problem description (PDF). Clay Mathematics Institute. Праверана 2008-10-25. {{cite book}}: Шаблон цытавання мае пусты невядомы параметр: |1= (даведка)
• Conrey, Brian (2003). The Riemann Hypothesis (PDF). Notices of the American Mathematical Society. pp. 341–353.
• Sarnak, Peter (2008). "Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis". In Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (рэд-ры). The Riemann Hypothesis (PDF). CMS Books in Mathematics. New York: Springer. pp. 107–115. ISBN 978-0387721255. Архівавана з арыгінала (PDF) 15 лістапада 2012. Праверана 10 чэрвеня 2014. {{cite book}}: Невядомы параметр |deadurl= ігнараваны (прапануецца |url-status=) (даведка) Архівавана 15 лістапада 2012.

Спасылкі

• Len Goodman and Eric W. Weisstein.. Riemann Hypothesis (нявызн.). MathWorld.