Дысперсія выпадковай велічыні

У тэорыі імавернасцей і статыстыцы дысперсія выпадковай велічыні вызначаецца як мера роскіду выпадковай велічыні, або як яе адхіленне ад матэматычнага спадзявання. Пазначаецца $\operatorname {Var} (X)$ або $D[X]$. У статыстыцы часта ўжываецца абазначэнне $\sigma _{X}^{2}$.

Прыклад шчыльнасці дзвюх нармальна размеркаванных выпадковых велічынь з рознымі дысперсіямі. Велічыня з зялёным графікам шчыльнасці мае большую дысперсію, чым велічыня з чырвоным графікам.

Квадратны корань з дысперсіі, роўны $\sigma$, называецца сярэднім квадратовым адхіленнем, стандартным адхіленнем або стандартным роскідам. Стандартнае адхіленне вымяраецца ў тых жа адзінках, што і сама выпадковая велічыня, а дысперсія вымяраецца ў квадратах гэтай адзінкі вымярэння.

З няроўнасці Чабышова вынікае, што імавернасць таго, што выпадковая велічыня аддалена ад свайго матэматычнага спадзявання больш чым на $k$ стандартных адхіленняў, складае менш за $1/k^{2}$. Так, для выпадковай велічыні, якая мае нармальнае размеркаванне, як мінімум у $95\,\%$ выпадкаў значэнні будуць не далей за два стандартных адхіленні ($2\sigma$) ад сярэдняга, а ў прыкладна $97{,}7\,\%$ — не далей за $3\sigma$. Гэтая заканамернасць для нармальнага размеркавання носіць назву «правіла трох сігм».

Дысперсія — тое самае, што другі цэнтральны момант выпадковай велічыні.

Азначэнне

Для выпадковай велічыні $X$, зададзенай на імавернаснай прасторы $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, дысперсіяй называецца значэнне

$\operatorname {Var} (X):=\int _{\Omega }(X(\omega )-\mathbb {E} [X])^{2}dP(\omega )=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}],$

дзе $\mathbb {E} [X]$ — матэматычнае спадзяванне велічыні $X$.

Калі інтэграл у азначэнні роўны $+\infty$, кажуць, што дысперсіі для гэтай выпадковай велічыні не існуе.

Уласцівасці

Дысперсія выпадковай велічыні мае наступныя ўласцівасці:

• Калі дысперсія і матэматычнае спадзяванне існуюць, то дысперсію можна выразіць формулай

$\operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} [X^{2}]-(\mathbb {E} [X])^{2}.$

• Для ўсякага рэчаіснага ліку $c$ праўдзіцца

$\operatorname {Var} (cX)=c^{2}\operatorname {Var} (X)$

і $\operatorname {Var} (c+X)=\operatorname {Var} (X).$

Дысперсія сумы выпадковых велічынь

Калі выпадковыя велічыні незалежныя, дысперсія іх сумы роўная суме іх дысперсій:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).$

Для дзвюх магчыма залежных велічынь, формула сумы выглядае наступным чынам:

$\operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)+2\operatorname {cov} (X,Y),$

дзе $\operatorname {cov} (X,Y)$ — іхняя каварыяцыя.

Формулу сумы можна абагульніць для лінейнай камбінацыі адвольнай колькасці выпадковых велічынь:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}c_{i}c_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j}).$

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.