Дыферэнцыял функцыі

(Пасля перасылкі з Дыферэнцыял)

Дыферэнцыял (лац.: Differentia - рознасць, адрозненне) - лінейная частка прырашчэння функцыі.

ГісторыяПравіць

Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам. Першапачаткова   ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» - велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

АбазначэнніПравіць

Звычайна дыферэнцыял функцыі   пазначаецца  . Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню   шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з'яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы   пазначаецца  , а часам  , а таксама  , калі значэнне   ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы   ад   можа пазначацца як  , а часам  , а таксама  , калі значэнне   ясна з кантэксту.

Выкарыстанне знака дыферэнцыялаПравіць

  • Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла  . Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял   уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
  • Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай  . Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі   і аналагічнай функцыі   верныя суадносіны
  • : 

ВызначэннеПравіць

Для функцыйПравіць

Дыферэнцыял функцыі   у кропцы   можа быць вызначаны як лінейная функцыя

 

дзе   абазначае вытворную   у кропцы  .

Такім чынам   ёсць функцыя двух аргументаў  .

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя  , якая лінейна залежыць ад  , і для якой верныя наступныя суадносіны

 

Для адлюстраванняўПравіць

Дыферэнцыялам адлюстравання   у кропцы   называюць лінейны аператар   такі, што выконваецца ўмова

 

Звязаныя вызначэнняПравіць

  • Адлюстраванне   называецца дыферэнцуемым у кропцы   калі вызначаны дыферэнцыял .

УласцівасціПравіць

*Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.
  • Дыферэнцыял функцыі   звязаны з яе градыентам   наступнымі вызначальнымі суадносінамі
 
  • Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з'яўляюцца узаемазваротнымі.

Варыяцыі і абагульненніПравіць

ЛітаратураПравіць

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»