Дыферэнцыял функцыі

Дыферэнцыя́л (лац.: Differentia — рознасць, адрозненне) — галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння функцыі.

Гісторыя

Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам. Першапачаткова $dx$ ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» — велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

Абазначэнні

Звычайна дыферэнцыял функцыі $f$ пазначаецца $df$. Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню ${\rm {d}}f$ шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з’яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы $x_{0}$ пазначаецца $d_{x_{0}}f$, а часам $df[x_{0}]$, а таксама $df$, калі значэнне $x_{0}$ ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы $x_{0}$ ад $h$ можа пазначацца як $d_{x_{0}}f(h)$, а часам $df[x_{0}](h)$, а таксама $df(h)$, калі значэнне $x_{0}$ ясна з кантэксту.

Выкарыстанне знака дыферэнцыяла

• Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла $\int f(x)\,dx$. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял $dx$ уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
• Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$. Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі $f$ і аналагічнай функцыі $x$ верныя суадносіны
• :$d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.$

Вызначэнне

Для функцый

Дыферэнцыял функцыі $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ у кропцы $x_{0}\in \mathbb {R}$ можа быць вызначаны як лінейная функцыя

$d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,$

дзе $f'(x_{0})$ абазначае вытворную $f$ у кропцы $x_{0}$.

Такім чынам $df$ ёсць функцыя двух аргументаў $df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)$.

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя $d_{x_{0}}f(h)$, якая лінейна залежыць ад $h$, і для якой верныя наступныя суадносіны

$d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(|h|).$

Для адлюстраванняў

Дыферэнцыялам адлюстравання $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ у кропцы $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ называюць лінейны аператар $d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ такі, што выконваецца ўмова

$d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(|h|).$

Звязаныя вызначэння

• Адлюстраванне $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ называецца дыферэнцуемым у кропцы $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ калі вызначаны дыферэнцыял$d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$.

Уласцівасці

• Матрыца лінейнага аператара $d_{x_{0}}f$ роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з’яўляюцца частковыя вытворныя.

*Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.

• Дыферэнцыял функцыі $f$ звязаны з яе градыентам $\nabla f$ наступнымі вызначальнымі суадносінамі

$d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

• Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з’яўляюцца узаемазваротнымі.

Варыяцыі і абагульненні

• Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
• Знешні дыферэнцыял
• Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
• Вытворная Пеано
• Вытворная Фрэшэ

Літаратура

• Гусак А. А. Дыферэнцыя́л у матэматыцы // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 6: Дадаізм — Застава / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1998. — Т. 6. — С. 299—300. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0106-0 (т. 6).
• Дыферэнцыя́л // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 119—120. — 496 с. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
• Руска-беларускі матэматычны слоўнік: [больш за 630 слоў і словазлучэнняў] / Лабачэня, Г. Я., Шчыракоў, А. М.; Мінскі дзяржаўны педагагічны інстытут імя А. М. Горкага. — Мн.: МДПІ, 1993. — С. 6. — 21 с. — 100 экз.
• Колмогоров А. Н. Дифференциа́л // Математический энциклопедический словарь (руск.) / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 188—189. — 847 с. — 150 000 экз.
• Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006. — 991, [1] с: ил. — ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»), ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»). (руск.)
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»