Камплексная плоскасць

Камплексная плоскасць — гэта двухмерная рэчаісная прастора $\mathbb {R} ^{2}$, ізаморфная полю камплексных лікаў $\mathbb {C}$. Кожны пункт такой прасторы — гэта ўпарадкаваная пара выгляду $(x,y)$, дзе $x$ і $y$ — рэчаісныя лікі, і дзе першы элемент пары адпавядае рэчаіснай частцы, а другі элемент пары адпавядае ўяўнай частцы камплекснага ліку $z=x+iy$:

$x=\mathrm {Re} \,z,$

$y=\mathrm {Im} \,z.$

Упарадкаваную пару $(x,y)$ натуральна вытлумачваць як радыус-вектар з пачаткам у нулі і з канцом у пункце $(x,y)$.

З прычыны ізамарфізму $\mathbb {C}$ і $\mathbb {R} ^{2}$, алгебраічныя аперацыі над камплекснымі лікамі пераносяцца на аперацыі над адпаведнымі ім радыус-вектарамі:

• складанне камплексных лікаў — гэта складанне адпаведных радыус-вектараў;
• множанне камплексных лікаў — гэта пераўтварэнне радыус-вектара, звязанае з яго паваротам і расцяжэннем.

Вынікам кампактыфікацыі (замыкання) камплекснай плоскасці з'яўляецца пашыраная камплексная плоскасць — камплексная плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленым пунктам, ізаморфная камплекснай сферы. Камплексная плоскасць звязана з камплекснай сферай, напрыклад, стэрэаграфічнай праекцыяй.

Камплексназначныя функцыі комплекснай пераменнай звычайна інтэрпрэтуюцца як адлюстраванні камплекснай плоскасці або сферы ў сябе. Паколькі прамыя на плоскасці (пры стэрэаграфічнай праекцыі) пераходзяць у акружнасці на сферы, якія ўтрымліваюць бясконца аддалены пункт, камплексныя функцыі зручней разглядаць на сферы.

Разглядаючы на камплекснай плоскасці тапалогію $\mathbb {R} ^{2}$, можна ўводзіць паняцці адкрытых, замкнёных мностваў, і даваць вызначэнні такіх аб'ектаў як крывыя і фармуляваць такія ўласцівасці камплексных функцый як непарыўнасць, дыферэнцавальнасць і аналітычнасць, а камплекснае прадстаўленне дазваляе кампактна апісваць гэтыя ўласцівасці на мове суадносін паміж рэчаіснымі і ўяўнымі часткамі, а таксама, паміж модулямі і аргументамі адпаведных камплексных лікаў.

Асаблівую ролю ў камплексным аналізе адыгрываюць канформныя адлюстраванні.

Мноствы на камплекснай плоскасці

Адкрытыя мноствы

Фундаментальнае паняцце наваколля ўводзіцца на камплекснай плоскасці вельмі проста - наваколлем ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ пункта $z_{0}\in \mathbb {C}$ называецца мноства выгляду ${\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$. Геаметрычна на камплекснай плоскасці наваколлі маюць вельмі просты выгляд — гэта проста акружнасці з цэнтрам у пэўных пунктах камплекснай плоскасці. Часам бывае зручна разглядаць праколатыя наваколлі ${\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}={\mathcal {U}}_{z_{0}}\setminus \{z_{0}\}$.

Зараз азначым адкрытае мноства — паводле аднаго з варыянтаў класічнага азначэння з агульнай тапалогіі, адкрытым мноства будзе, калі яно для любога свайго пункта змяшчае некаторае яго наваколле. Паняцце наваколля ўжо вызначана, адпаведна, адкрытае мноства на $\mathbb {C}$ цалкам вызначана.

Гранічны пункт і замкнёнае мноства

Вызначыць гранічны пункт таксама няцяжка — пункт $z_{0}\in \mathbb {C}$ будзе гранічным для мноства $G\subset \mathbb {C}$, калі для адвольнага наваколля ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ перасячэнне ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G$ будзе непустым. Іншымі словамі, пункт з'яўляецца гранічным, калі ў адвольнай «блізкасці» да яго заўсёды ёсць пункты мноства. Мноства гранічных пунктаў часам называецца вытворным і абазначаецца як $G'$.

Мноства $G\subset \mathbb {C}$ будзе называцца замкнёным, калі для яго справядліва ўключэнне $G'\subset G$. Ясна відаць, што для адвольнага мноства $G$ мноства ${\overline {G}}=G\cup G'$ будзе замкнёна; яно называецца замыканнем мноства $G$.

Мяжа

Кропка $z_{0}\in \mathbb {C}$ называецца межавою для мноства $G\subset \mathbb {C}$, калі для адвольнага наваколля ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ перасячэнні ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G$ і ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)$ пустыя. Мноства ўсіх межавых пунктаў называецца межавым мноствам $\partial G$ або проста мяжой.

Усюды шчыльныя мноствы

Мноства $E\subset \mathbb {C}$ называецца ўсюды шчыльным ў іншым мностве $G\subset \mathbb {C}$, калі для адвольнага пункта $z_{0}\in G$ і любога наваколля ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ перасячэнне ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap E$ непустое.

Звязнасць

Адлегласць паміж мноствамі

Як вядома з элементарнай матэматыкі, на камплекснай плоскасці адлегласць паміж двума пунктамі роўна модулю іх рознасці. Вызначым адлегласць паміж пунктам $z_{0}$ і некаторым мноствам $G\subset \mathbb {C}$ як велічыню $\mathrm {dist} \,(z_{0},G)=\inf _{z\in G}|z-z_{0}|$.

На аснове гэтага паняцця ўжо можна вызначыць адлегласць паміж двума адвольнымі мноствамі ў $\mathbb {C}$: $\mathrm {dist} \,(G_{1},G_{2})=\inf _{z\in G_{1}}\mathrm {dist} \,(z,G_{2})=\inf _{z\in G_{2}}\mathrm {dist} \,(z,G_{1})$.

Звязнасць

Мноства $G\subset \mathbb {C}$ называецца звязным, калі для яго выконваюцца суадносіны $\inf _{z_{1},z_{2}\in G}|z_{1}-z_{2}|=0$. Калі дадзеная велічыня не роўная нулю, то мноства называецца нязвязным. Можна паказаць, што нязвязнае мноства $G$ можна прадставіць у выглядзе аб'яднання (канечнага або злічальнага) $\sum G_{n}$, дзе $G_{n}$ — неперасякальныя звязныя мноствы, так званыя звязнымі кампанентамі мноства $G$. Магутнасць мноства звязных кампанент называецца парадкам звязнасці.

Выпуклыя, зорныя і лінейна звязныя мноствы

Мноства $G\subset \mathbb {C}$ называецца зорным адносна пункта $z_{0}\in G$, калі для адвольнага пункта $z\in G$ справядліва ўключэнне ${\overline {z_{0}z}}\subset G$.

Мноства $G\subset \mathbb {C}$ называецца выпуклым, калі яно зорнае адносна любога свайго пункта. Мноства $G^{*}$ называецца выпуклай абалонкай мноства $G$, калі яно выпуклае, $G\subset G^{*}$ і для любога выпуклага мноства $G^{**}$, якое змяшчае мноства $G$, выконваецца ўключэнне$G^{*}\subset G^{**}$.

Ламанаю $\Gamma$ называецца мноства пунктаў камплекснай плоскасці, што прадстаўляецца ў выглядзе аб'яднання адрэзкаў. Мноства $G$ называецца лінейна звязным, калі для двух адвольных пунктаў $z_{1},z_{2}\in G$ існуе ламаная $\Gamma \subset G$ такая, што выконваецца $z_{1},z_{2}\in \Gamma$.

Можна даказаць, што любое лінейна звязнае мноства будзе звязным. Адсюль адразу вынікае, што ўсе выпуклыя і зорныя мноствы звязныя.

Крывыя на $\mathbb {C}$

Крывыя і шляхі

Крывой або шляхам на камплекснай плоскасці $\mathbb {C}$ называецца адлюстраванне выгляду $\varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$. Асабліва варта адзначыць, што пры такім азначэнні можна канкрэтызаваць не толькі выгляд крывой, які будзе залежаць ад аналітычных уласцівасцей функцыі $\varphi (t)$, але і яе кірунак. Для прыкладу, функцыі $\varphi (t)$ і $\eta (t)=\varphi (1-t)$ будуць вызначаць аднолькавую з віду крывую, але з процілеглымі кірункамі.

Гоматопія крывых

Крывыя $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$ і $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$ называюцца гоматопнымі, калі існуе крывая $\xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C}$, якая залежыць ад параметра $q$ такім чынам, што $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ і $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$.

Бясконца аддалены пункт

У камплексным аналізе часта карысна разглядаць поўную камплексную плоскасць, дапоўненую у параўнанні са звычайнай бясконца аддаленым пунктам: $z=\infty$. Пры такім падыходзе неабмежавана нарастальная (па модулю) паслядоўнасць лічыцца збежнай да бясконца аддаленага пункта. Алгебраічныя аперацыі з бесканечнасцю не вызначаны, хоць некалькі алгебраічных суадносін маюць месца:

• ${\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )$
• $z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)$

$\varepsilon$-наваколлем бясконца аддаленага пункта лічыцца мноства пунктаў $z$, модуль якіх большы, чым $\varepsilon$, гэта значыць знешняя частка $\varepsilon$-наваколляў пачатку каардынат.

Літаратура

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.