Адкрыць галоўнае меню

Камплексная плоскасць — гэта двухмерная рэчаісная прастора , ізаморфная полю камплексных лікаў . Кожны пункт такой прасторы — гэта ўпарадкаваная пара выгляду , дзе і рэчаісныя лікі, і дзе першы элемент пары адпавядае рэчаіснай частцы, а другі элемент пары адпавядае ўяўнай частцы камплекснага ліку :

Упарадкаваную пару натуральна вытлумачваць як радыус-вектар з пачаткам у нулі і з канцом у пункце .

З прычыны ізамарфізму і , алгебраічныя аперацыі над камплекснымі лікамі пераносяцца на аперацыі над адпаведнымі ім радыус-вектарамі:

  • складанне камплексных лікаў — гэта складанне адпаведных радыус-вектараў;
  • множанне камплексных лікаў — гэта пераўтварэнне радыус-вектара, звязанае з яго паваротам і расцяжэннем.

Вынікам кампактыфікацыі (замыкання) камплекснай плоскасці з'яўляецца пашыраная камплексная плоскасць — камплексная плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленым пунктам, ізаморфная камплекснай сферы. Камплексная плоскасць звязана з камплекснай сферай, напрыклад, стэрэаграфічнай праекцыяй.

Камплексназначныя функцыі комплекснай пераменнай звычайна інтэрпрэтуюцца як адлюстраванні камплекснай плоскасці або сферы ў сябе. Паколькі прамыя на плоскасці (пры стэрэаграфічнай праекцыі) пераходзяць у акружнасці на сферы, якія ўтрымліваюць бясконца аддалены пункт, камплексныя функцыі зручней разглядаць на сферы.

Разглядаючы на камплекснай плоскасці тапалогію , можна ўводзіць паняцці адкрытых, замкнёных мностваў, і даваць вызначэнні такіх аб'ектаў як крывыя і фармуляваць такія ўласцівасці камплексных функцый як непарыўнасць, дыферэнцавальнасць і аналітычнасць, а камплекснае прадстаўленне дазваляе кампактна апісваць гэтыя ўласцівасці на мове суадносін паміж рэчаіснымі і ўяўнымі часткамі, а таксама, паміж модулямі і аргументамі адпаведных камплексных лікаў.

Асаблівую ролю ў камплексным аналізе адыгрываюць канформныя адлюстраванні.

Змест

Мноствы на камплекснай плоскасціПравіць

Адкрытыя мноствыПравіць

Фундаментальнае паняцце наваколля ўводзіцца на камплекснай плоскасці вельмі проста - наваколлем   пункта   называецца мноства выгляду  . Геаметрычна на камплекснай плоскасці наваколлі маюць вельмі просты выгляд — гэта проста акружнасці з цэнтрам у пэўных пунктах камплекснай плоскасці. Часам бывае зручна разглядаць праколатыя наваколлі  .

Зараз азначым адкрытае мноства — паводле аднаго з варыянтаў класічнага азначэння з агульнай тапалогіі, адкрытым мноства будзе, калі яно для любога свайго пункта змяшчае некаторае яго наваколле. Паняцце наваколля ўжо вызначана, адпаведна, адкрытае мноства на   цалкам вызначана.

Гранічны пункт і замкнёнае мностваПравіць

Вызначыць гранічны пункт таксама няцяжка — пункт   будзе гранічным для мноства  , калі для адвольнага наваколля   перасячэнне   будзе непустым. Іншымі словамі, пункт з'яўляецца гранічным, калі ў адвольнай «блізкасці» да яго заўсёды ёсць пункты мноства. Мноства гранічных пунктаў часам называецца вытворным і абазначаецца як  .

Мноства   будзе называцца замкнёным, калі для яго справядліва ўключэнне  . Ясна відаць, што для адвольнага мноства   мноства   будзе замкнёна; яно называецца замыканнем мноства  .

МяжаПравіць

Кропка   называецца межавою для мноства  , калі для адвольнага наваколля   перасячэнні   і   пустыя. Мноства ўсіх межавых пунктаў называецца межавым мноствам   або проста мяжой.

Усюды шчыльныя мноствыПравіць

Мноства   называецца ўсюды шчыльным ў іншым мностве  , калі для адвольнага пункта   і любога наваколля   перасячэнне   непустое.

ЗвязнасцьПравіць

Адлегласць паміж мностваміПравіць

Як вядома з элементарнай матэматыкі, на камплекснай плоскасці адлегласць паміж двума пунктамі роўна модулю іх рознасці. Вызначым адлегласць паміж пунктам   і некаторым мноствам   як велічыню  .

На аснове гэтага паняцця ўжо можна вызначыць адлегласць паміж двума адвольнымі мноствамі ў  :  .

ЗвязнасцьПравіць

Мноства   называецца звязным, калі для яго выконваюцца суадносіны  . Калі дадзеная велічыня не роўная нулю, то мноства называецца нязвязным. Можна паказаць, што нязвязнае мноства   можна прадставіць у выглядзе аб'яднання (канечнага або злічальнага)  , дзе   — неперасякальныя звязныя мноствы, так званыя звязнымі кампанентамі мноства  . Магутнасць мноства звязных кампанент называецца парадкам звязнасці.

Выпуклыя, зорныя і лінейна звязныя мноствыПравіць

Мноства   называецца зорным адносна пункта  , калі для адвольнага пункта   справядліва ўключэнне  .

Мноства   называецца выпуклым, калі яно зорнае адносна любога свайго пункта. Мноства   называецца выпуклай абалонкай мноства  , калі яно выпуклае,   і для любога выпуклага мноства  , якое змяшчае мноства  , выконваецца ўключэнне .

Ламанаю   называецца мноства пунктаў камплекснай плоскасці, што прадстаўляецца ў выглядзе аб'яднання адрэзкаў. Мноства   называецца лінейна звязным, калі для двух адвольных пунктаў   існуе ламаная   такая, што выконваецца  .

Можна даказаць, што любое лінейна звязнае мноства будзе звязным. Адсюль адразу вынікае, што ўсе выпуклыя і зорныя мноствы звязныя.

Крывыя на Правіць

Крывыя і шляхіПравіць

Крывой або шляхам на камплекснай плоскасці   называецца адлюстраванне выгляду  . Асабліва варта адзначыць, што пры такім азначэнні можна канкрэтызаваць не толькі выгляд крывой, які будзе залежаць ад аналітычных уласцівасцей функцыі  , але і яе кірунак. Для прыкладу, функцыі   і   будуць вызначаць аднолькавую з віду крывую, але з процілеглымі кірункамі.

Гоматопія крывыхПравіць

Крывыя   і   называюцца гоматопнымі, калі існуе крывая  , якая залежыць ад параметра   такім чынам, што   і  .

Бясконца аддалены пунктПравіць

У камплексным аналізе часта карысна разглядаць поўную камплексную плоскасць[1], дапоўненую у параўнанні са звычайнай бясконца аддаленым пунктам:  . Пры такім падыходзе неабмежавана нарастальная (па модулю) паслядоўнасць лічыцца збежнай да бясконца аддаленага пункта. Алгебраічныя аперацыі з бесканечнасцю не вызначаны, хоць некалькі алгебраічных суадносін маюць месца:

  •  
  •  

 -наваколлем бясконца аддаленага пункта лічыцца мноства пунктаў  , модуль якіх большы, чым  , гэта значыць знешняя частка  -наваколляў пачатку каардынат.

Зноскі

  1. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., стр. 20-21.

ЛітаратураПравіць