Адкрыць галоўнае меню

Квадра́тнае ўраўне́нне, або квадрато́вае раўна́нне[1] — гэта ўраўненне выгляду

дзе a, b, c — вызначаныя лікі, a ≠ 0, x — невядомая велічыня.

Развязанне ўраўненняПравіць

Тэарэма ВіетаПравіць

Лікі   і   ёсць каранямі квадратнага ўраўнення   тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):

 

Заўвага 1: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.

Заўвага 2: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань   формулы Віета прымаюць выгляд

 
 

Прыклад

Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент a = 1. У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент. Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне

 

(a = 1, b = -1, c = -6).

Неабходна, каб задавальняліся роўнасці

 
 

Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3. Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6. Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што

карані — гэта лікі 3 і -2.

ДыскрымінантПравіць

 
Перасячэнне парабалай восі x у залежнасці ад знака дыскрымінанта (ад колькасці рэчаісных каранёў)

Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення   называецца велічыня

 
  • Калі D > 0, карані вылічваюць па формуле
 
  • Калі D = 0, карані вылічваюць па формуле
 
  • Калі D < 0, рэчаісных каранёў няма.

Заўвага: калі D < 0, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле

 

дзе i — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:

 

Прыклад

Разгледзім тое ж ураўненне

 

(a = 1, b = -1, c = -6).

Вылічым дыскрымінант  

Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:

 
 

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.