Квадратнае ўраўненне

Квадра́тнае ўраўне́нне, або квадрато́вае раўна́нне — гэта ўраўненне выгляду

$ax^{2}+bx+c=0,$

дзе a, b, c — вызначаныя лікі, a ≠ 0, x — невядомая велічыня.

Развязанне ўраўнення

Тэарэма Віета

Асноўны артыкул: Тэарэма Віета

Лікі $x_{1}$ і $x_{2}$ ёсць каранямі квадратнага ўраўнення $ax^{2}+bx+c=0$ тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}.\end{cases}}$

Заўвага 1: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.

Заўвага 2: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань $x_{1}=x_{2},$ формулы Віета прымаюць выгляд

$2x_{1}=-{\frac {b}{a}},$

$x_{1}^{2}={\frac {c}{a}}.$

Прыклад

Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент a = 1. У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент. Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне

$x^{2}-x-6=0$

(a = 1, b = -1, c = -6).

Неабходна, каб задавальняліся роўнасці

$x_{1}\cdot x_{2}=-6,$

$x_{1}+x_{2}=1.$

Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3. Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6. Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што

карані — гэта лікі 3 і -2.

Дыскрымінант

Асноўны артыкул: Дыскрымінант

Перасячэнне парабалай восі x у залежнасці ад знака дыскрымінанта (ад колькасці рэчаісных каранёў)

Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення $ax^{2}+bx+c=0$ называецца велічыня

$D=b^{2}-4ac.$

• Калі D > 0, карані вылічваюць па формуле

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.$

• Калі D = 0, карані вылічваюць па формуле

$x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}.$

• Калі D < 0, рэчаісных каранёў няма.

Заўвага: калі D < 0, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле

$x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}},$

дзе i — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:

$i^{2}=-1.$

Прыклад

Разгледзім тое ж ураўненне

$x^{2}-x-6=0$

(a = 1, b = -1, c = -6).

Вылічым дыскрымінант $D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=25.$

Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:

$x_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1+5}{2}}=3,$

$x_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1-5}{2}}=-2.$