Матэматыка
Матэма́тыка (стар.-грэч.: μᾰθημᾰτικά[1] < стар.-грэч.: μάθημα — вывучэнне, навука) — дакладная фармальная навука[2], якая першапачаткова вывучала колькасныя адносіны і прасторавыя формы рэчаіснага свету[3]. Традыцыйна матэматыка лічыцца асаблівай у сваім родзе навукай.
Пачаткі матэматыкі з’явіліся ў глыбокай старажытнасці.
Асноўныя звесткі
правіцьІдэалізаваныя ўласцівасці доследных аб’ектаў альбо фармулююцца ў выглядзе аксіём, альбо пералічваюцца ў азначэнні адпаведных матэматычных аб’ектаў. Затым па строгіх правілах лагічнага вываду з гэтых уласцівасцей выводзяцца іншыя праўдзівыя ўласцівасці (тэарэмы). Гэтая тэорыя ў сукупнасці ўтварае матэматычную мадэль доследнага аб’екта. Такім чынам, першапачаткова, зыходзячы з прасторавых і колькасных суадносін, матэматыка атрымлівае больш абстрактныя суадносіны, вывучэнне якіх таксама з’яўляецца прадметам сучаснай матэматыкі[4].
Традыцыйна матэматыка дзеліцца на тэарэтычную, якая выконвае паглыблены аналіз унутрыматэматычных структур, і прыкладную, якая прадстаўляе свае мадэлі іншым навукам і інжынерным дысцыплінам, прычым некаторыя з іх займаюць пагранічнае з матэматыкай становішча. У прыватнасці, фармальная логіка можа разглядацца і як частка філасофскіх навук, і як частка матэматычных навук; механіка — і фізіка, і матэматыка; інфарматыка, камп’ютарныя тэхналогіі і алгарытміка адносяцца як да інжынерыі, так і да матэматычных навук і г. д. У літаратуры было прапанавана шмат розных азначэнняў матэматыкі.
Назва
правіцьСлова «матэматыка» пайшло ад стар.-грэч.: μάθημα, што азначае вывучэнне, веды, навука, і стар.-грэч.: μαθηματικός, якое першапачаткова азначала ўспрыімлівы, паспяваючы[5], пазней звязаны з вывучэннем, пасля звязаны з матэматыкай. Між іншым, μαθηματικὴ τέχνη, на латыні ars mathematica, азначае мастацтва матэматыкі. Тэрмін стар.-грэч.: μᾰθημᾰτικά у сучасным значэнні «матэматыка» сустракаецца ўжо ў працах Арыстоцеля (IV ст. да н. э.).
У беларускую мову слова прыйшло праз лацінскую (лац.: mathematica) і старапольскую (польск.: matematyka)[6]. У помніках на старабеларускай мове слова «математикъ», ці «математыкъ» сустракаецца ўжо ў канцы XVI — першай палавіне XVII ст.[7]
Падобным шляхам слова «матэматыка» трапіла і ў рускую мову[8]. У тэкстах на рускай мове слова «математика», ці «маѳематика» сустракаецца прынамсі з XVII стагоддзя, напрыклад, у Мікалая Спафарыя ў «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год)[9].
Азначэнні
правіцьАдно з першых азначэнняў прадмета матэматыкі даў Дэкарт[10]:
К вобласці матэматыкі адносяцца толькі тыя навукі, у якіх разглядаецца альбо парадак, альбо мера, і зусім не істотна, ці будуць гэта лікі, фігуры, зоркі, гукі ці нешта іншае, у чым адшукваецца гэтая мера. Такім чынам, павінна існаваць нейкая агульная навука, якая тлумачыць усё што адносіцца да парадку і меры, не ўваходзячы ў даследаванне ніякіх асобных прадметаў, і гэтая навука павінна называцца не замежным, але старым, ужывальным імем Усеагульнай матэматыкі.
У савецкі час класічным лічылася азначэнне з ВСЭ[11], дадзенае А. М. Калмагоравым:
Матэматыка… навука аб колькасных адносінах і прасторавых формах сапраўднага свету.
Гэта азначэнне Энгельса[12]; праўда, далей Калмагораў тлумачыць, што ўсе выкарыстаныя тэрміны трэба разумець у самым шырокім і абстрактным сэнсе.
Сутнасць матэматыкі… ўяўляецца цяпер як вучэнне аб адносінах паміж аб'ектамі, аб якіх нічога не вядома, акрамя якія апісваюць іх некаторых уласцівасцей, — іменна тых, якія ў якасці аксіём пакладзены ў падмурак тэорыі… Матэматыка ёсць набор абстрактных форм — матэматычных структур.
Герман Вейль песімістычна ацаніў магчымасць даць агульнапрынятае азначэнне прадмета матэматыкі:
Пытанне аб асновах матэматыкі і аб тым, што ўяўляе сабой у канчатковым выніку матэматыка, застаецца адкрытым. Мы не ведаем нейкага напрамку, які дазволіць, у рэшце рэшт, знайсці канчатковы адказ на гэтае пытанне, і ці можна наогул чакаць, што падобны «канчатковы» адказ будзе калі-небудзь атрыманы і прызнаны ўсімі матэматыкамі.
«Матэматызаванне» можа застацца адным з праяўленняў творчай дзейнасці чалавека, падобна музіцыраванню або літаратурнай творчасці, яркім і самабытным, але прагназаванне яго гістарычнага лёсу не паддаецца рацыяналізацыі і не можа быць аб'ектыўным[14].
Гісторыя
правіцьПаводле акадэміка А. М. Калмагорова гісторыя матэматыкі дзеліцца на наступныя перыяды:
- Перыяд зараджэння матэматыкі, на працягу якога назбіраўся дастаткова вялікі фактычны матэрыял;
- Перыяд элементарнай матэматыкі, які пачынаецца ў VI—V стст. да н. э. і завяршаецца ў канцы XVI ст. («Запас паняццяў, з якімі мела справу матэматыка да пачатку XVII ст., складае і да цяперашняга часу аснову „элементарнай матэматыкі“, якая выкладаецца ў пачатковай і сярэдняй школе»);
- Перыяд матэматыкі пераменных велічынь, які ахоплівае XVII—XVIII стст., «які можна ўмоўна назваць таксама перыядам „вышэйшай матэматыкі“»;
- Перыяд сучаснай матэматыкі — матэматыкі XIX—XX стст., у ходзе якога матэматыкам прыйшлося «аднесціся да працэса пашырэння прадмета матэматычных даследаванняў свядома, паставіўшы перад сабою задачу сістэматычнага вывучэння з дастаткова агульнага пункта погляду магчымых тыпаў колькасных адносін і прасторавых форм».
Развіццё матэматыкі пачалося разам з тым, як чалавек стаў выкарыстоўваць абстракцыі колькі-небудзь высокага ўзроўню. Простая абстракцыя — лікі; асэнсаванне таго, што два яблыкі і два апельсіны, нягледзячы на ўсе іх адрозненні, маюць нешта агульнае, а іменна займаюць абедзве рукі аднаго чалавека, — якаснае дасягненне мыслення чалавека. Акрамя таго, што старажытныя людзі даведаліся, як лічыць канкрэтныя аб’екты, яны таксама зразумелі, як вылічаць і абстрактныя колькасці, такія, як час: дні, поры года, гады. З элементарнага лічэння натуральным чынам пачала развівацца арыфметыка: складанне, адніманне, множанне і дзяленне лікаў.
Развіццё матэматыкі абапіраецца на пісьменнасць і ўменне запісваць лікі. Напэўна, старажытныя людзі спачатку запісвалі колькасць шляхам малявання рысачак на зямлі ці выдрапвалі іх на драўніне. Старажытныя інкі, не маючы іншай сістэмы пісьменнасці, прадстаўлялі і захоўвалі лікавыя дадзеныя, выкарыстоўваючы складаную сістэму вяровачных вузлоў, так званыя кіпу. Існавала мноства розных сістэм злічэння. Першыя вядомыя запісы лікаў былі знойдзены ў папірусе Ахмеса, створаным егіпцянамі Сярэдняга царства. Індская цывілізацыя распрацавала сучасную дзесятковую сістэму злічэння, якая ўключае паняцце нуля.
Гістарычна асноўныя матэматычныя дысцыпліны з’явіліся з-за неабходнасці весці разлікі ў камерцыйнай сферы, пры вымярэнні зямель і для прадказання астранамічных з’яў і, пазней, для рашэння новых фізічных задач. Кожная з гэтых абласцей адыграла вялікую ролю ў шырокім развіцці матэматыкі, якое заключаецца ў вывучэнні структур, прастор і змен.
Раздзелы матэматыкі
правіць1. Матэматыка як навучальная дысцыпліна дзеліцца на элементарную матэматыку, вывучаную ў сярэдняй школе і ўтвораную дысцыплінамі:
- арыфметыка,
- элементарная алгебра
- элементарная геаметрыя: планіметрыя і стэрэаметрыя
- тэорыя элементарных функцый і элементы аналізу
і вышэйшую матэматыку, вывучаную на нематэматычных спецыяльнасцях ВНУ. Дысцыпліны, што ўваходзяць у склад вышэйшай матэматыкі, вар’іруюцца ў залежнасці ад спецыяльнасці.
Філасофія матэматыкі
правіцьМэты і метады
правіцьМатэматыка вывучае ўяўныя, ідэальныя аб’екты і суадносіны паміж імі, выкарыстоўваючы фармальную мову. У агульным выпадку матэматычныя паняцці і тэарэмы не абавязкова маюць адпаведнасць чаму-небудзь у фізічным свеце. Галоўнае заданне ўжытковага раздзела матэматыкі — стварыць матэматычную мадэль, досыць адэкватную доследнаму рэальнаму аб’екту. Заданне матэматыка-тэарэтыка — забяспечыць дастатковы набор зручных сродкаў для дасягнення гэтай мэты.
Утрыманне матэматыкі можна вызначыць як сістэму матэматычных мадэляў і прылад для іх стварэння. Мадэль аб’екта ўлічвае не ўсе яго рысы, а толькі самыя патрэбныя для мэт вывучэння (ідэалізаваныя). Прыкладам, вывучаючы фізічныя ўласцівасці апельсіна, мы можам абстрагавацца ад яго колеру і густу і ўявіць яго (хай не ідэальна дакладнае) шарам. Калі ж нам трэба зразумець, колькі апельсінаў атрымаецца, калі мы складзём разам два і тры, — то можна абстрагавацца і ад формы, пакінуўшы ля мадэлі толькі адну характарыстыку — колькасць. Абстракцыя і ўсталяванне сувязяў паміж аб’ектамі ў самым агульным выглядзе — адзін з галоўных кірункаў матэматычнай творчасці.
Іншы кірунак, разам з абстрагаваннем — абагульненне. Прыкладам, абагульняючы паняцце «прастора» да прасторы n-вымярэнняў. «Прастора , пры з’яўляецца матэматычнай выдумкай. Зрэшты, вельмі геніяльнай выдумкай, якая дапамагае матэматычна разбірацца ў складаных з’явах»[15].
Вывучэнне ўнутрыматэматычных аб’ектаў, зазвычай, адбываецца пры дапамозе аксіяматычнага метаду: спачатку для доследных аб’ектаў фармулююцца спіс асноўных паняццяў і аксіём, а потым з аксіём з дапамогай правіл высновы атрымліваюць змястоўныя тэарэмы, у сукупнасці ўтваральныя матэматычную мадэль.
Падставы
правіцьПытанне існасці і падстаў матэматыкі абмяркоўвалася з часоў Платона. Пачынаючы з XX стагоддзя назіраецца параўнальная згода ў пытанні, што належыць лічыць строгім матэматычным довадам, аднак адсутнічае згода ў разуменні таго, што ў матэматыцы лічыць спрадвечна праўдзівым. Адсюль выцякаюць нязгоды як у пытаннях аксіёматыкі і ўзаемасувязі галін матэматыкі, гэтак і ў выбары лагічных сістэм, якімі варта пры довадах карыстацца.
Апроч скептычнага, вядомыя ніжэйпералічаныя падыходы да дадзенага пытання.
Тэарэтыка-множны падыход
правіцьПрапануецца разглядаць усе матэматычныя аб’екты ў рамках тэорыі мностваў, найчасцей з аксіяматыкай Цэрмела — Фрэнкеля (хоць існуе мноства іншых, раўназначных ёй). Дадзены падыход лічыцца з сярэдзіны XX стагоддзя пераважным, аднак у рэчаіснасці большасць матэматычных прац не ставяць заданняў перавесці свае сцверджанні строга на мову тэорыі мностваў, а аперуюць паняццямі і фактамі, усталяванымі ў некаторых абласцях матэматыкі. Такім чынам, калі ў тэорыі мностваў будзе выяўлена супярэчнасць, гэта не пацягне за сабой абясцэньванне большасці вынікаў.
Лагіцызм
правіцьДадзены падыход мяркуе строгую тыпізацыю матэматычных аб’ектаў. Многія парадоксы, якіх унікаюць у тэорыі мностваў толькі шляхам адмысловых хітрыкаў, аказваюцца немагчымымі ў прынцыпе.
Фармалізм
правіцьДадзены падыход мяркуе вывучэнне фармальных сістэм на глебе класічнай логікі.
Інтуіцыянізм
правіцьІнтуіцыянізм мяркуе ў падставе матэматыкі інтуіцыйную логіку, больш абмежаваную ў сродках доваду (але, як лічыцца, і больш надзейную). Інтуіцыянізм адпрэчвае довад ад адваротнага, многія неканструктыўныя довады робяцца немагчымымі, а многія праблемы тэорыі мностваў — бессэнсоўнымі (нефармалізоўнымі).
Канструктыўная матэматыка
правіцьКанструктыўная матэматыка — блізкая да інтуіцыянізму плынь у матэматыцы, што вывучае канструктыўныя пабудовы. Паводле крытэрыю канструктыўнасці — «існаваць — значыць быць пабудаваным»[16]. Крытэрый канструктыўнасці — мацнейшае патрабаванне, чым крытэрый несупярэчнасці[17].
Асноўныя тэмы
правіцьЛік (колькасць)
правіцьАсноўны раздзел, які разглядае абстракцыю колькасці — алгебра. Паняцце «лік» спачатку зарадзілася з арыфметычных уяўленняў і адносілася да натуральных лікаў. Надалей яно, з дапамогай алгебры, было паступова пашырана на цэлыя, рацыянальныя, рэчаісныя, комплексныя і іншыя лікі.
| |||||||||||||||
Камплексныя лікі | Кватэрніёны |
Лікі — Натуральныя лікі — Цэлыя лікі — Рацыянальныя лікі — Ірацыянальныя лікі — Алгебраічныя лікі — Трансцэндэнтныя лікі — Рэчаісныя лікі — Камплексныя лікі — Гіперкамплексныя лікі — Кватэрніёны — Актаніёны — Седэніёны — Гіперрэальныя лікі — Сюррэальныя лікі — p-адычныя лікі — Матэматычныя сталыя — Назвы лікаў — Бясконцасць — Базы
Ператварэнні
правіцьАрыфметыка | Дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне | Вектарны аналіз | Аналіз |
Дыферэнцыяльныя ўраўненні | Дынамічныя сістэмы | Тэорыя хаосу |
Арыфметыка — Вектарны аналіз — Аналіз — Тэорыя меры — Дыферэнцыяльныя ўраўненні — Дынамічныя сістэмы — Тэорыя хаосу
Структуры
правіцьТэорыя мностваў — Лінейная алгебра — Агульная алгебра (улучае, у прыватнасці, тэорыю груп, універсальную алгебру, тэорыю катэгорый) — Алгебраічная геаметрыя — Тэорыя лікаў — Тапалогія.
Прасторавыя адносіны
правіцьГеаметрыя | Трыганаметрыя | Дыферэнцыяльная геаметрыя | Тапалогія | Фракталы | Тэорыя меры |
Геаметрыя — Трыганаметрыя — Алгебраічная геаметрыя — Тапалогія — Дыферэнцыяльная геаметрыя — Алгебраічная тапалогія — Лінейная алгебра — Фракталы — Тэорыя меры.
Дыскрэтная матэматыка
правіцьДыскрэтная матэматыка улучае сродкі даследавання аб’ектаў, здольных прымаць толькі асобныя (дыскрэтныя) значэнні (то бок аб’ектаў, не здольных змяняцца плыўна).[18]
Матэматычная логіка | Тэорыя вылічальнасці | Крыптаграфія | Тэорыя графаў |
Камбінаторыка — Тэорыя мностваў — Тэорыя рашотак — Матэматычная логіка — Тэорыя вылічальнасці— Крыптаграфія — Тэорыя функцыянальных сістэм — Тэорыя графаў — Тэорыя алгарытмаў — Лагічныя злічэнні — Інфарматыка.
Анлайнавыя сэрвісы
правіцьІснуе вялікі лік сайтаў, што падаюць сэрвіс для матэматычных разлікаў. Большасць з іх англамоўныя.
Праграмнае забеспячэнне
правіцьМатэматычнае праграмнае забеспячэнне — шматграннае:
- Пакеты, арыентаваныя на набор матэматычных тэкстаў і на іх наступную вёрстку (TeX).
- Пакеты, арыентаваныя на рашэнне матэматычных заданняў, лікавае мадэляванне і пабудову графікаў (GNU Octave, Maple, Mathcad, MATLAB, Scilab).
- Асобныя праграмы ці пакеты праграм, якія актыўна выкарыстоўваюць матэматычныя метады (калькулятары, архіватары, пратаколы шыфравання/дэшыфраванні, сістэмы распазнання выяў, кадаванне аўдыя і відэа).
Гл. таксама
правіцьЗноскі
правіць- ↑ Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «μᾰθημᾰτικά»
- ↑ mathematics | Definition, History, & Importance | Britannica (англ.). www.britannica.com. Архівавана з першакрыніцы 3 студзеня 2018. Праверана 13 студзеня 2022.
- ↑ Беларуская энцыклапедыя ў 18 т. Т. 10. С. 211.
- ↑ Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — С. 581—582. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2.
- ↑ Большой древнегреческий словарь (αω) Архівавана 31 студзеня 2013.
- ↑ Этымалагічны слоўнік беларускай мовы. Т. 6. С. 263.
- ↑ Гістарычны слоўнік беларускай мовы. Т. 17. С. 277—278
- ↑ Этимологический словарь Фасмера «Математика»(недаступная спасылка)
- ↑ Словарь русского языка XI—XVII вв. Выпуск 9 / Гл. ред. Ф. П. Филин. — М., 1982. — С. 41.
- ↑ Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.
- ↑ См.: Математика Архівавана 5 чэрвеня 2016. // БСЭ.
- ↑ Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.
- ↑ Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
- ↑ Герман Вейль // Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 16. Архівавана 12 лютага 2007.
- ↑ Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
- ↑ Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
- ↑ Г. И. Рузавин. О природе математического знания. — М., 1968.
- ↑ Renze, John; Weisstein, Eric W.. Discrete Mathematics . MathWorld.
Літаратура
правіць- Гайшун І. В. Матэматыка // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. — С. 211. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).
- Бернік В. І., Гусак А. А. Матэма́тыка // Беларусь: энцыклапедычны даведнік / Рэдкал. Б. І. Сачанка (гал. рэд.) і інш.; Маст. М. В. Драко, А. М. Хількевіч. — Мн.: БелЭн, 1995. — С. 470. — 800 с. — 5 000 экз. — ISBN 985-11-0026-9.
- Матэматычная энцыклапедыя. — Мн.: Тэхналогія, 2001.
- Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
- Россия/Русская наука/Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
- Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
- Mathematics // Encyclopædia Britannica, Volume 17, 1911.
- Кнігі
- Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. Архівавана 12 лютага 2007.
- Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988. — 295 с.(недаступная спасылка)
- Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.
- Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ Архівавана 16 кастрычніка 2015. М.: Наука, 1987. 432 с.
- Том II. Геометрия Архівавана 16 кастрычніка 2015. М.: Наука, 1987. 416 с.
- Курант Р., Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. — М.: 2001. 568 с.
- Писаревский Б. М., Харин В. Т. О математике, математиках и не только. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. — 302 с.
Спасылкі
правіцьМатэматыка на Вікісховішчы |
- The Mathematical Atlas - A Gateway to Modern Mathematics Архівавана 30 верасня 2005.
- В. А. Успенский: Апология математики (+окончание).
- МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ
- Математический форум Math Help Planet
- История математики Архівавана 19 верасня 2017.
- Большой адронный коллайдер как инструмент развития математики
- МЦНМО
- Математические этюды
- Мир математических уравнений