Адкрыць галоўнае меню

Матэматычная фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці

У гэтым артыкуле разглядаецца матэматычны базіс агульнай тэорыі адноснасці.

Агульная тэорыя адноснасці
Гравітацыя
Матэматычная фармулёўка
Касмалогія
Гл. таксама «Фізічны партал»

Змест

Зыходныя палажэнніПравіць

Нашае інтуітыўнае ўспрыманне паказвае нам, што прастора-час з'яўляецца рэгулярнай і неперарыўнай, гэта значыць не мае «дзірак». Матэматычна гэтыя ўласцівасці азначаюць, што прастора-час будзе мадэлявацца гладкай дыферэнцавальнай мнагастайнасцю 4 вымярэнняў  , г. зн. прасторай размернасці 4, для якой наваколле кожнай кропкі лакальна падобнае на чатырохмерную эўклідавую прастору. Гладкасць тут азначае дастатковую дыферэнцавальнасць, пакуль без удакладнення яе ступені.

Паколькі, акрамя таго, з добрай дакладнасцю выконваюцца законы спецыяльнай тэорыі адноснасці, то такую мнагастайнасць можна надзяліць лорэнцавай метрыкай, г. зн. нявыраджаным метрычным тэнзарам з сігнатурай   (ці, што эквівалентна,  ). Значэнне гэтага раскрываецца ў наступным раздзеле.

Геаметрыя прасторы-часуПравіць

Метрычны тэнзарПравіць

Дыферэнцавальная мнагастайнасць[1] M, забяспечанае лорэнцавым метрычным тэнзарам g , і прадстаўляе сабой такім чынам лорэнцаву мнагастайнасць, якая з'яўляецца асобным выпадак псеўдарыманавай мнагастайнасці (азначэнне «лорэнцаў» будзе ўдакладнена далей у тэксце; гл. ніжэй раздзел Лорэнцава метрыка) .

Возьмем якую-небудзь сістэму каардынат   ў наваколлі кропкі  , і хай   — лакальны базіс ў датычнай прасторы   да мнагастайнасці   ў кропцы  . Датычны вектар   запішацца тады як лінейная камбінацыя базісных вектараў:

 

Пры гэтым велічыні   называюцца контраварыянтнымі кампанентамі вектара w. Метрычны тэнзар   тады — сіметрычная білінейная форма:

 

дзе праз   пазначаны дуальны ў адносінах да   базіс ў кадатычный прасторы  , гэта значыць такія лінейныя формы на  , што:

 

Далей будзем меркаваць, што кампаненты   метрычнага тэнзара змяняюцца ў прасторы-часе неперарыўна[2].

Метрычны тэнзар, такім чынам, можа быць прадстаўлены сапраўднай сіметрычнай матрыцай 4x4 :

 

Наогул любая сапраўдная матрыца 4x4 мае апрыёры 4 x 4 = 16 незалежных элементаў. Умова сіметрыі памяншае гэты лік да 10: на самай справе, застаецца 4 дыяганальныя элементы, да якіх трэба дадаць (16 - 4)/2 = 6 недыяганальных элементаў. Тэнзар   валодае, такім чынам, толькі 10 незалежнымі кампанентамі.

Скалярны здабытакПравіць

Метрычны тэнзар вызначае для кожнай кропкі  разнастайнасці псеўда-скалярны здабытак («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара); см. Лорэнцава метрыка) у датычнай да разнастайнасці   ў кропцы   псеўдаэўклідавай прасторы  . Калі   і   — два вектары  , іх скалярны здабытак запішацца як:

 

У прыватнасці, узяўшы два базісных вектара, атрымліваем кампаненты:

 

Заўвага: калі велічыні w ^ {\ mu} абазначаюць контраварыянтныя кампаненты вектара w, то можна вызначыць таксама яго каварыянтныя кампаненты як:

 

Элементарная адлегласць — інтэрвалПравіць

Разгледзім вектар элементарнага перамяшчэння   паміж кропкай   і бясконца блізкай кропкай:  . Інварыянтнай інфінітэзімальнай нормай гэтага вэктару будзе сапраўдны лік, які пазначаецца  , званы квадратам інтэрвалу, і роўны:

 .

Калі пазначыць кампаненты вектара элементарнага перамяшчэння «па-фізічна»  , інфінітэзімальны квадрат даўжыні (інтэрвалу) запішацца фармальна як:

 

Увага: у гэтай формуле, а таксама і далей,   прадстаўляе сабой сапраўдны лік, які інтэрпрэтуецца фізічна як «інфінітэзімальная змена» каардынаты  , а не як дыферэнцыяльная форма!

Лорэнцава метрыкаПравіць

Удакладнім цяпер выраз «лорэнцава» (дакладней лакальна лорэнцава), які азначае, што метрычны тэнзар мае сігнатуру (1,3) і лакальна супадае ў першым парадку з лорэнцавай метрыкай спецыяльнай тэорыі адноснасці. Прынцып эквівалентнасці сцвярджае, што можна «сцерці» лакальна поле гравітацыі, выбіраючы лакальна інерцыйных сістэму каардынатаў. З матэматычнага пункту гледжання такі выбар з'яўляецца перафармулёўку вядомай тэарэмы аб магчымасці прывядзення квадратычнай формы да галоўных восях .

У такой лакальна інерцыяльны сістэме каардынатаў   інварыянт   у кропцы   запішацца як:

 

дзе   з'яўляецца метрыкай прасторы-часу Мінкоўскага, а ў малому наваколлі гэтага пункту

 

дзе   мае мінімум другі парадак драбніцы па адхіленнях каардынатаў ад кропкі  , г. зн.  . Прымаючы пагадненне знакаў Мізнэра, Торна і Уілера, маем:

 

Далей выкарыстоўваюцца наступныя звычайныя пагадненні:

  • грэчаскія індэксы змяняюцца ад 0 да 3. Яны адпавядаюць велічыням ў прасторы-часу.
  • лацінскія індэксы змяняюцца ад 1 да 3. Яны адпавядаюць прасторавым складнікам велічынь у прасторы-часу.

Напрыклад, 4 -вектар становішча запішацца ў лакальна інерцыяльнай сістэме каардынат як:

 

Увага: на самой справе вядомыя, а не інфінітэзімальныя прырашчэння каардынат не ўтвараюць вектара. Вектар з іх узнікае толькі ў аднастайным прасторы нулявой крывізны і трывіяльнай тапалогіі .

Ларэнца характар ​​разнастайнасці   забяспечвае, такім чынам, тое, што датычныя да   ў кожнай кропцы псеўдаэўклідавай прасторы будуць валодаць псеўдаскалярнымі здабыткамі («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара)) з трыма строга дадатнымі уласнымі значэннямі (адпаведнымі прасторы) і адным строга адмоўным уласным значэннем (адпаведным часе). У прыватнасці, элементарны інтэрвал «ўласнага часу», які аддзяляе дзве паслядоўных падзеі, заўсёды :

 

Агульныя паняцці афіннай звязнасці і каварыянтнай вытворнайПравіць

Абагульнена, афіннай звязнасцю называецца аператар  , які прыводзіць у адпаведнасць вектарнаму полю   з датычнага пучка   поле эндамарфізмаў   этого пучка. гэтага пучка. Калі   — датычны вектар у пункце  , звычайна пазначаюць

 

Кажуць , што   з'яўляецца «каварыянтнай вытворнай» вектара   ў напрамку  . Выкажам здагадку да таго ж , што   задавальняе дадатковым умовам: для любой функцыі f справядліва

 

Каварыянтная вытворная задавальняе наступным двум уласцівасцям лінейнасці:

  • лінейнасць па w, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў w і u і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:
 
  • лінейнасць па V, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў X і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:
 

Як толькі каварыянтная вытворная вызначана для палёў вектараў, яна можа быць распаўсюджана на тэнзарныя палі з выкарыстаннем правілы Лейбніца: калі   і   — два любых тэнзар, то па азначэнні :

 

Каварыантная вытворная поля тэнзара ўздоўж вектара w значыць ізноў поле тэнзара таго ж тыпу.

Звязнасць, асацыяваная з метрыкайПравіць

Можна даказаць , што звязнасць, асацыяваная з метрыкай — складнасць Леві-Чывіты [ 1 ], з'яўляецца адзінай звязнасцю, якая акрамя папярэдніх умоў дадаткова забяспечвае тое, што для любых палёў вектараў X, Y, Z з TM


  •   (метрычнасць — тэнзар неметрычнасці роўны нулю) .
  •  , где   — камутатар Лі ад X і Y (адсутнасць скрута — тэнзар скрута роўны нулю) .

Ураўненні ЭйнштэйнаПравіць

Ураўненні гравітацыйнага поля, якія называюцца ўраўненнямі Эйнштэйна, запісваюцца так

 

або так

 

дзе   — касмалагічная канстанта,   — скорасць святла ў вакууме,   — гравітацыйная пастаянная, якая з’яўляецца таксама ў законе сусветнага прыцягнення Ньютана,   — тэнзар Эйнштэйна, а   — тэнзар энергіі-імпульсу.

Сіметрычны тэнзар   мае толькі 10 незалежных складнікаў, тэнзарнае ўраўненне Эйнштэйна ў зададзенай сістэме каардынат эквівалентна сістэме 10 скалярных ураўненняў. Гэтая сістэма 10 звязаных нелінейных ураўненняў ў частковых вытворных ў большасці выпадкаў вельмі цяжкая для вывучэння.

Тэнзар энергіі-імпульсуПравіць

Тэнзар энергіі-імпульсу можа быць запісаны ў выглядзе сапраўднай сіметрычнай матрыцы 4x4:

 

У ім выяўляюцца наступныя фізічныя велічыні:

  • T00 — аб'ёмная шчыльнасць энергіі. Яна павінна быць дадатнай.
  • T10, T20, T30 — шчыльнасці кампанент імпульсу.
  • T01, T02, T03 — кампаненты патоку энергіі.
  • Пад-матрыца 3 x 3 з чыста прасторавых кампанент:
 

— матрыца патокаў імпульсаў. У механіцы вадкасці дыяганальныя кампаненты адпавядаюць ціску, а іншыя складнікі — тангенцыяльным намаганням (высілкам або ў старой тэрміналогіі — нацяжэннем), выкліканым вязкасцю.

Для вадкасці ў спакоі тэнзар энергіі-імпульсу зводзіцца да дыяганальнай матрыцы  , дзе   ёсць шчыльнасць масы, а   — гідрастатычны ціск.

Зноскі

  1. Далей мы ўсюды не пішам індэкс 4, які ўдакладняе размернасць мнагастайнасці «M».
  2. Больш дакладна, яны павінны быць па крайняй меры класа C².
Тэорыі гравітацыі
Стандартныя тэорыі гравітацыі Альтэрнатыўныя тэорыі гравітацыі Квантавыя тэорыі гравітацыі Адзіныя тэорыі поля
Класічная фізіка

Рэлятывісцкая фізіка

Прынцыпы

Класічныя

Рэлятывісцкія

Шматмерныя

Струнныя

Іншыя