Нармальнае размеркаванне

Нарма́льнае размеркава́нне (або размеркаванне Га́ўса) — функцыя, якая паказвае імавернасць таго, што вымеранае значэнне фізічнай велічыні, залежнай ад вялікай колькасці нязначных паасобку чыннікаў, трапіць у прамежак паміж зададзенаю параю рэчаісных лікаў.

Нармальнае размеркаванне

Шчыльнасць імавернасці Чырвоная крывая адлюстроўвае стандартнае нармальнае размеркаванне
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	${\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})$
Параметры	μ ∈ R — Сярэдняе (размяшчэнне) σ2 > 0 — дысперсія (квадратычная шкала)
Носьбіт функцыі	x ∈ R
Шчыльнасць імавернасці	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
Функцыя размеркавання	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]$
Матэматычнае спадзяванне	μ
Медыяна	μ
Мода	μ
Дысперсія	$\sigma ^{2}\,$
Каэфіцыент асіметрыі	0
Каэфіцыент эксцэсу	0
Энтрапія	${\frac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})$
Утваральная функцыя момантаў	$\exp\{\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
Характарыстычная функцыя	$\exp\{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
Інфармацыя Фішэра	${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$

Нармальнае размеркаванне — вельмі важнае паняцце ў статыстыцы, але таксама часта выкарыстоўваецца ў прыродазнаўчых і грамадскіх навуках для рэчаісных выпадковых велічынь, размеркаванне якіх невядома.

Нармальнае размеркаванне з'яўляецца надзвычай карысным з-за цэнтральнай гранічнай тэарэмы, згодна з якой, у няжорсткіх умовах, сярэдняе з мноства выпадковых велічынь, незалежна абраных з адной выбаркі, размеркавана прыблізна нармальна, незалежна ад формы зыходнай выбаркі. Напрыклад, фізічныя велічыні, якія, як чакаецца, будуць сумай многіх незалежных працэсаў (такіх, як хібнасці вымярэнняў), часта маюць размеркаванне вельмі блізкае да нармальнага. Больш за тое, многія вынікі і метады (напрыклад, распаўсюджанне нявызначанасці або метад найменшых квадратаў могуць быць атрыманы аналітычна ў яўным выглядзе, калі адпаведныя пераменныя нармальна размеркаваны.

Часам размеркаванне Гаўса неафіцыйна называюць каўпакападобнаю крывою (англ.: bell curve, bellshaped curve). Але шмат іншых размеркаванняў маюць выгляд каўпака (напрыклад, размеркаванні Кашы, Сцьюдэнта, лагістычнае).

Азначэнне

Кажучы строга, нармальнае размеркаванне — размеркаванне імавернасцей, чыя функцыя шчыльнасці імавернасцей у аднамерным выпадку супадае з функцыяй Гауса:

$f(x)={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$

дзе параметр μ — матэматычнае спадзяванне, медыяна і мода размеркавання, а параметр σ — стандартнае адхіленне (σ² — дысперсія) размеркавання.

Такім чынам, аднамернае нармальнае размеркаванне з'яўляецца двухпараметрычным сямействам размеркаванняў. Мнагамерны выпадак апісаны ў мнагамерным нармальным размеркаванні.

Гл. таксама

• Мнагамернае нармальнае размеркаванне