Адкрыць галоўнае меню

Падобнасць — ператварэнне эўклідавай прасторы, пры якім для любых двух пунктаў , і іх выяў, маюць месца суадносіны , дзе — не роўны нулю лік, што завецца каэфіцыентам падобнасці.

Змест

АдкрыццёПравіць

Вучэнне пра падобнасць фігур было створана ў Старажытнай Грэцыі у V—IV стст. да н.э. працамі Гіпакрата Хіяскага, Архіта Тарэнцкага, Яўдокса Кнідскага і інш. Яно выкладзена ў VI кнізе «Пачаткаў» Эўкліда.

ПрыкладыПравіць

  • Кожная гаматэтыя з'яўляецца падобнасцю.
  • Кожны рух (у тым ліку і тоесны) таксама можна разглядаць як ператварэнне падобнасці з каэфіцыентам  .
 
Падобныя фігуры на рысунку маюць аднолькавыя колеры.

Звязаныя вызначэнніПравіць

  • Фігура   завецца падобнай фігуры  , калі існуе ператварэнне падобнасці, пры якім  .

УласцівасціПравіць

  • Падобнасць ёсць ўзаемна адназначным адлюстраваннем эўклідавай прасторы на сябе.
  • Падобнасць захоўвае парадак пунктаў на простай, то бок калі пункт   ляжыць паміж пунктамі  ,   і  ,  ,   — адпаведныя іх выявы пры некаторай падобнасці, то   таксама ляжыць паміж пунктамі   і  .
  • Пункты, што не ляжаць на простай, пры кожнай падобнасці пераходзяць у пункты, што не ляжаць на адной простай.
  • Падобнасць ператворыць простую ў простую, адрэзак у адрэзак, прамень у прамень, вугал у вугал, акружнасць у акружнасць.
  • Пры падобнасці вугал захоўвае велічыню.
  • Падобнасць з каэфіцыентам  , што пераўтварае кожную простую ў паралельную ёй простую, з'яўляецца гаматэтыяй з каэфіцыентам   ці  .
    • Кожную падобнасць можна разглядаць як кампазіцыю руху   і некаторай гаматэтыі   з дадатным каэфіцыентам.
    • Падобнасць завецца уласнай (няўласнай), калі рух   з'яўляецца ўласным (няўласным). Уласная падобнасць захоўвае арыентацыю фігур, а няўласная — змяняе арыентацыю на процілеглую.
  • Два трохвугольніка з'яўляюцца падобнымі, калі
  • Плошчы падобных фігур сумерныя квадратам іх адпаведных ліній (прыкладам, бакоў). Так, плошчы кругоў сумерныя адносінам квадратаў іх дыяметраў (ці радыусаў).

АбагульненніПравіць

Аналагічна вызначаецца падобнасць (з захаваннем указаных вышэй уласцівасцей) у 3-мернай эўклідавай прасторы, а таксама ў n-мернай эўклідавай і псеўдаэўклідавай прасторах.

У метрычных прасторах гэтак жа, як у  -мерных рыманавых, псеўдарыманавых і фінслеравых прасторах падобнасць вызначаецца як ператварэнне, што перакладае метрыку прасторы ў сябе з дакладнасцю да пастаяннага множніка.

Сукупнасць усіх падабенстваў n-мернай эўклідавай, псеўдаэўклідавай, рыманавай, псеўдарыманавай ці фінслеравай прасторы складае  -складовую групу ператварэнняў Лі, якая завецца групай падобных (гаматэтычных) ператварэнняў адпаведнай прасторы. У кожнай з прастор указаных тыпаў  -складовая група падобных ператварэнняў Лі ўтрымвае  -складовую нармальную падгрупу рухаў.

АбазначэннеПравіць

Для абазначэння падобнасці выкарыстоўваецца значок ~.

Гл. таксамаПравіць

СпасылкіПравіць