Пастаянная Эйлера — Маскероні ці пастаянная Эйлера — матэматычная канстанта , якая вызначаецца як граніца рознасці паміж частковай сумай гарманічнага рада і натуральным лагарыфмам ліку:
γ
=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
ln
n
)
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
2
+
1
3
+
…
+
1
n
−
ln
n
)
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)}
Канстанта ўведзена ў 1735 годзе Леанардам Эйлерам , ён жа прапанаваў для яе абазначэнне C , якое дагэтуль часам ужываецца. Італьянскі матэматык Ларэнца Маскероні ў 1790 годзе вылічыў 32 знакі канстанты. Карл Антон Брэтшнайдэр прапанаваў сучаснае абазначэнне
γ
{\displaystyle \gamma }
«гама» ).
Значэнне канстанты:
γ
{\displaystyle \gamma }
У тэорыі лікаў нярэдка выкарыстоўваецца канстанта
e γ
e
γ
=
(
2
1
)
1
/
2
(
2
2
1
⋅
3
)
1
/
3
(
2
3
⋅
4
1
⋅
3
3
)
1
/
4
(
2
4
⋅
4
4
1
⋅
3
6
⋅
5
)
1
/
5
⋯
{\displaystyle e^{\gamma }=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots }
Пастаянная Эйлера можа быць выражана інтэгралам :
γ
=
−
∫
0
∞
ln
x
e
x
d
x
{\displaystyle \gamma =-\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,dx}
γ
=
1
−
∫
0
1
{
1
x
}
d
x
=
1
−
∫
1
∞
{
x
}
x
2
d
x
{\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{0}^{1}\left\{{\frac {1}{x}}\right\}dx=1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{x\}}{x^{2}}}\,dx}
{
t
}
{\displaystyle \left\{t\right\}}
дробная частка ліку
t
{\displaystyle t}
γ
2
+
π
2
6
=
∫
0
∞
e
−
x
ln
2
x
d
x
.
{\displaystyle \gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx.}
−
1
4
(
γ
+
2
ln
2
)
π
=
∫
0
∞
e
−
x
2
ln
x
d
x
{\displaystyle -{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx}
Таксама яна выражаецца цераз вытворную гама-функцыі :
γ
=
−
Γ
′
(
1
)
=
−
Ψ
(
1
)
{\displaystyle \gamma =-\Gamma ^{'}(1)=-\Psi (1)}
γ
=
3
2
−
ln
2
−
∑
m
=
2
∞
(
−
1
)
m
m
−
1
m
[
ζ
(
m
)
−
1
]
=
lim
n
→
∞
[
2
n
−
1
2
n
−
ln
n
+
∑
k
=
2
n
(
1
k
−
ζ
(
1
−
k
)
n
k
)
]
=
lim
n
→
∞
[
2
n
e
2
n
∑
m
=
0
∞
2
m
n
(
m
+
1
)
!
∑
t
=
0
m
1
t
+
1
−
n
ln
2
+
O
(
1
2
n
e
2
n
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}}
γ
=
lim
m
→
∞
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
(
−
1
)
k
k
ln
(
k
!
)
{\displaystyle \gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(k!)}
γ
=
lim
n
→
∞
{
Γ
(
1
n
)
Γ
(
n
+
1
)
n
1
+
1
/
n
Γ
(
2
+
n
+
1
n
)
−
n
2
n
+
1
}
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}}
γ
+
ζ
(
2
)
=
∑
k
=
2
∞
(
1
⌊
k
⌋
2
−
1
k
)
=
∑
k
=
2
∞
k
−
⌊
k
⌋
2
k
⌊
k
⌋
2
=
1
2
+
2
3
+
1
2
2
∑
k
=
1
2
×
2
k
k
+
2
2
+
1
3
2
∑
k
=
1
3
×
2
k
k
+
3
2
+
…
.
{\displaystyle {\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\times 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\times 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\dots .}}
2
γ
=
lim
z
→
0
1
z
{
1
Γ
(
1
+
z
)
−
1
Γ
(
1
−
z
)
}
{\displaystyle 2\gamma =\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}}
π
2
3
γ
2
=
lim
z
→
0
1
z
{
1
Ψ
(
1
−
z
)
−
1
Ψ
(
1
+
z
)
}
.
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}.}
γ
=
ln
π
−
4
ln
Γ
(
3
4
)
+
4
π
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
ln
(
2
k
+
1
)
2
k
+
1
.
{\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.}
e
−
γ
=
lim
x
→
∞
ln
x
∏
p
⩽
x
(
1
−
1
p
)
.
{\displaystyle e^{-\gamma }=\lim \limits _{x\to \infty }\ln x\prod \limits _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}
∑
p
⩽
x
ln
p
p
−
1
=
ln
x
−
γ
+
o
(
1
)
.
{\displaystyle \sum \limits _{p\leqslant x}{\frac {\ln p}{p-1}}=\ln x-\gamma +o(1).}
Непарыўны дроб
правіць
Раскладанне пастаяннай
γ
{\displaystyle \gamma }
непарыўны дроб пачынаецца паслядоўнасцю [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, …] A002852 сама менш 470 000 «паверхаў» [1] калі і толькі калі
γ
{\displaystyle \gamma }
Адкрытыя праблемы
правіць
Да гэтага часу не выяўлена, ці з'яўляецца гэты лік рацыянальным . Аднак тэорыя непарыўных дробаў паказвае, што калі пастаянная Эйлера — рацыянальны дроб, яго назоўнік большы за
10
242080
{\displaystyle 10^{242080}}
[1] 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4a5413d5b0a6c08764cd0e62fd121a9012015b)
A002852, у якой не відно яўнай заканамернасці. Непарыўны дроб мае сама менш 470 000 «паверхаў»[1]. У непарыўным дробе будзе бесканечна многа элементаў, калі і толькі калі ірацыянальнае.
