Плоскасць — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць ураўненнем першай ступені.
Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0
,
(
1
)
{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0,\qquad (1)}
дзе
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
D
{\displaystyle D}
A B C
|
A
|
+
|
B
|
+
|
C
|
≠
0
{\displaystyle |A|+|B|+|C|\neq 0}
вектарнай форме:
(
r
,
N
)
+
D
=
0
,
{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0,}
дзе
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
M
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle M(x,y,z)}
N
=
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}
Накіравальныя косінусы вектары
N
{\displaystyle \mathbf {N} }
cos
α
=
A
A
2
+
B
2
+
C
2
,
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}
cos
β
=
B
A
2
+
B
2
+
C
2
,
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}
cos
γ
=
C
A
2
+
B
2
+
C
2
.
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}
Калі адзін з каэфіцыентаў ва ўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне называецца няпоўным . Пры
D
=
0
{\displaystyle D=0}
A
=
0
{\displaystyle A=0}
B
=
0
{\displaystyle B=0}
C
=
0
{\displaystyle C=0}
O
x
{\displaystyle Ox}
O
y
{\displaystyle Oy}
O
z
{\displaystyle Oz}
A
=
B
=
0
{\displaystyle A=B=0}
A
=
C
=
0
{\displaystyle A=C=0}
B
=
C
=
0
{\displaystyle B=C=0}
O
x
y
{\displaystyle Oxy}
O
x
z
{\displaystyle Oxz}
O
y
z
{\displaystyle Oyz}
x
a
+
y
b
+
z
c
=
1
,
{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}
дзе
a
=
−
D
/
A
,
b
=
−
D
/
B
,
c
=
−
D
/
C
{\displaystyle a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C}
O
x
,
O
y
{\displaystyle Ox,Oy}
O
z
{\displaystyle Oz}
Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}
перпендыкулярна вектару нармалі
N
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}
A
(
x
−
x
0
)
+
B
(
y
−
y
0
)
+
C
(
z
−
z
0
)
=
0
;
{\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}
у вектарнай форме:
(
(
r
−
r
0
)
,
N
)
=
0.
{\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}
Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты
M
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
{\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}
якія не ляжаць на адной прамой :
(
(
r
−
r
1
)
,
(
r
2
−
r
1
)
,
(
r
3
−
r
1
)
)
=
0
,
{\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0,}
дзе
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}
змешаны здабытак [ru] x y z
|
x
−
x
1
y
−
y
1
z
−
z
1
x
2
−
x
1
y
2
−
y
1
z
2
−
z
1
x
3
−
x
1
y
3
−
y
1
z
3
−
z
1
|
=
0.
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}
Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці
x
cos
α
+
y
cos
β
+
z
cos
γ
−
p
=
0
,
(
2
)
{\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0,\qquad (2)}
у вектарнай форме:
(
r
,
N
0
)
−
p
=
0
,
{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,}
дзе
N
0
{\displaystyle \mathbf {N^{0}} }
p
{\displaystyle p}
μ
=
±
1
A
2
+
B
2
+
C
2
{\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}
(знакі
μ
{\displaystyle \mu }
D
{\displaystyle D}
На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Плоскасць