Поле (алгебра)
По́ле — мноства, для элементаў якога вызначаны дзве аперацыі, т.зв. складанне і множанне, якія падпарадкоўваюцца пэўным законам. Паняцце «поле» можна разглядаць як абагульненне мноства рэчаісных лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.
Паняцце «поле» было ўпершыню ўведзена ў 19 стагоддзі Рыхардам Дэдэкіндам.
Найважнейшымі прыкладамі палёў, якія выкарыстоўваюцца ледзь не ва ўсіх галінах матэматыкі, з'яўляюцца поле рэчаісных лікаў, поле рацыянальных лікаў і поле камплексных лікаў.
Строгае азначэнне
правіцьАгульнае азначэнне
правіцьПоле − гэта мноства , на якім вызначаны дзве бінарныя аперацыі « » і " " (як правіла, называюцца адпаведна складанне і множанне), якія задавальняюць наступныя ўмовы:
- ёсць абелева група (з нейтральным элементам 0)
- ёсць абелева група (з нейтральным элементам 1)
- Выконваецца размеркавальны закон: для любых справядліва:
- (левы размеркавальны закон)
- (правы размеркавальны закон)
Пералік неабходных аксіём
правіцьЛюбое поле павінна задавальняць наступную сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі поля:
- Уласцівасці складання:
- (спалучальны закон)
- (перамяшчальны закон)
- Існуе элемент такі, што (нейтральны элемент)
- Для кожнага існуе адваротны адносна складання (процілеглы) элемент , такі што
- Уласцівасці множання:
- (спалучальны закон)
- (перамяшчальны закон)
- Існуе элемент , такі што (нейтральны элемент).
- Для кожнага існуе адваротны адносна множання элемент , такі што
- Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
- (левы размеркавальны закон)
- (інакш нулявое колца было б полем)
Заўвага 1: правы размеркавальны закон
вынікае з астатніх уласцівасцей:
Заўвага 2: часам ад перамяшчальнага закона для множання адмаўляюцца, у выніку замест поля атрымліваецца так званае цела. Прыкладам цела з'яўляецца мноства кватэрніёнаў з вызначанымі на ім складаннем і множаннем.
Літаратура
правіць- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.