Метад Рунгэ — Ромберга
Метад Рунгэ — Ромберга — спосаб удакладнення прыбліжаных значэнняў функцыі, атрыманых на сетцы вузлоў з дапамогай некаторых формул. Метад дазваляе павышаць парадак дакладнасці сеткавых формул без увядзення дадатковых вузлоў і ўскладнення саміх формул.
Адно з асноўных прымяненняў — павышэнне дакладнасці сеткавых метадаў лікавага рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў.
Метад даволі агульны і не залежыць ад выгляду формул прыбліжанага вылічэння.
Асноўная ідэя:
- вылічваецца рашэнне выбраным метадам з крокам h;
- а затым рашэнне з крокам r·h (як правіла, у якасці r бярэцца цэлы лік, часцей за ўсё 2);
- на аснове гэтых рашэнняў вылічваецца ўдакладненае рашэнне (з дапамогай простых арыфметычных дзеянняў з пагрэшнасці выключаецца член найменшага парадку, г.зн. найбольшы па абсалютнай велічыні).
Апісанне метаду
правіцьЁсць некаторая функцыя z(x), дзе x прымае значэнні з некаторай вобласці прасторы. Неабходна вылічыць значэнні функцыі z(x) на вузлах раўнамернай рашоткі (сеткі) ў вобласці.
Няхай ζ(x, h) — формула для прыбліжанага вылічэння функцыі z(x) на вузлах раўнамернай сеткі з крокам h, такая што для пагрэшнасці справядліва ацэнка:
Адпаведна, калі ажыццявіць разлік па формуле ζ(x, h) на раўнамернай сетцы з крокам r·h, атрымаем:
Заўважым, што r — некаторы пастаянны загадзя выбраны лік. Таму O((rh) p+1) = O(h p+1).
Выразім велічыню ψ(x)·h p з гэтых дзвюх роўнасцей, атрымаем першую формулу Рунгэ[1]:
Першы складнік справа і ёсць галоўны член пагрэшнасці. Такім чынам, разлік на другой сетцы дазваляе ацаніць пагрэшнасць разліку на першай (з дакладнасцю да членаў вышэйшых парадкаў).
Падстаўляючы знойдзеную велічыню, атрымліваем другую формулу Рунгэ[2]:
якае дае прыбліжэнне функцыі z(x) з большай дакладнасцю.
Такі спосаб павышэння дакладнасці называецца метадам Рунгэ.
Абагульненне
правіцьМетад Рунгэ абагульняецца на выпадак адвольнага ліку сетак. Няхай функцыя z(x) мае дастаткова высокія непарыўныя вытворныя. Тады ў раскладаннях Тэйлара, на аснове якіх будуюцца прыбліжаныя формулы, можна браць больш членаў. Гэта дазваляе прадставіць пагрэшнасць у выглядзе рада:
Няхай разлік праведзены на q розных раўнамерных сетках з крокамі hj , 1 ≤ j ≤ q. Тады можна выключыць першыя q - 1 складнікаў пагрэшнасці. Для гэтага запішам выраз для z(x) на кожнай з сетак у наступным выглядзе:
тут улічана, што hj = rj·h, дзе rj — пастаянныя загадзя выбраныя лікі.
Разам гэтыя роўнасці ўтвараюць сістэму лінейных ураўненняў адносна велічынь z(x) і ψm(x). Развязваючы яе па правілу Крамера, атрымліваем формулу Ромберга для ўдакладненага значэння[3]:
Гэта формула дае павышэнне парадку дакладнасці выніку на q - 1 у параўнанні з зыходнаю формулай ζ(x, h), г.зн. кожная наступная сетка дазваляе павысіць парадак дакладнасці на адзінку.
Зноскі
Літаратура
правіць- Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. Архівавана 4 сакавіка 2016.
- Ким И. Г., Латыпова Н. В., Моторина О. Л. Численные методы: учеб.-метод. пособие. Ч. 2.. — Ижевск: «Удмуртский университет», 2013. — 64 с.