Метад Рунгэ — Ромберга

(Пасля перасылкі з Правіла Рунге — Ромберга)

Метад Рунгэ — Ромберга — спосаб удакладнення прыбліжаных значэнняў функцыі, атрыманых на сетцы вузлоў з дапамогай некаторых формул. Метад дазваляе павышаць парадак дакладнасці сеткавых формул без увядзення дадатковых вузлоў і ўскладнення саміх формул.

Адно з асноўных прымяненняў — павышэнне дакладнасці сеткавых метадаў лікавага рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў.

Метад даволі агульны і не залежыць ад выгляду формул прыбліжанага вылічэння.

Асноўная ідэя:

  • вылічваецца рашэнне выбраным метадам з крокам h;
  • а затым рашэнне з крокам r·h (як правіла, у якасці r бярэцца цэлы лік, часцей за ўсё 2);
  • на аснове гэтых рашэнняў вылічваецца ўдакладненае рашэнне (з дапамогай простых арыфметычных дзеянняў з пагрэшнасці выключаецца член найменшага парадку, г.зн. найбольшы па абсалютнай велічыні).

Апісанне метадуПравіць

Ёсць некаторая функцыя z(x), дзе x прымае значэнні з некаторай вобласці прасторы. Неабходна вылічыць значэнні функцыі z(x) на вузлах раўнамернай рашоткі (сеткі) ў вобласці.

Няхай ζ(x, h) — формула для прыбліжанага вылічэння функцыі z(x) на вузлах раўнамернай сеткі з крокам h, такая што для пагрэшнасці справядліва ацэнка:

 

Адпаведна, калі ажыццявіць разлік па формуле ζ(x, h) на раўнамернай сетцы з крокам r·h, атрымаем:

 

Заўважым, што r — некаторы пастаянны загадзя выбраны лік. Таму O((rh) p+1) = O(h p+1).

Выразім велічыню ψ(xh p з гэтых дзвюх роўнасцей, атрымаем першую формулу Рунгэ[1]:

 

Першы складнік справа і ёсць галоўны член пагрэшнасці. Такім чынам, разлік на другой сетцы дазваляе ацаніць пагрэшнасць разліку на першай (з дакладнасцю да членаў вышэйшых парадкаў).

Падстаўляючы знойдзеную велічыню, атрымліваем другую формулу Рунгэ[2]:

 

якае дае прыбліжэнне функцыі z(x) з большай дакладнасцю.

Такі спосаб павышэння дакладнасці называецца метадам Рунгэ.

АбагульненнеПравіць

Метад Рунгэ абагульняецца на выпадак адвольнага ліку сетак. Няхай функцыя z(x) мае дастаткова высокія непарыўныя вытворныя. Тады ў раскладаннях Тэйлара, на аснове якіх будуюцца прыбліжаныя формулы, можна браць больш членаў. Гэта дазваляе прадставіць пагрэшнасць у выглядзе рада:

 

Няхай разлік праведзены на q розных раўнамерных сетках з крокамі hj , 1 ≤ jq. Тады можна выключыць першыя q - 1 складнікаў пагрэшнасці. Для гэтага запішам выраз для z(x) на кожнай з сетак у наступным выглядзе:

 

тут улічана, што hj = rj·h, дзе rj — пастаянныя загадзя выбраныя лікі.

Разам гэтыя роўнасці ўтвараюць сістэму лінейных ураўненняў адносна велічынь z(x) і ψm(x). Развязваючы яе па правілу Крамера, атрымліваем формулу Ромберга для ўдакладненага значэння[3]:

 

Гэта формула дае павышэнне парадку дакладнасці выніку на q - 1 у параўнанні з зыходнаю формулай ζ(x, h), г.зн. кожная наступная сетка дазваляе павысіць парадак дакладнасці на адзінку.

Зноскі

  1. Калиткин. Численные методы. с. 75.
  2. Калиткин. Численные методы. с. 75.
  3. Калиткин. Численные методы. с. 76.

ЛітаратураПравіць