Прамавугольны трохвугольнік

Прамавугольны трохвугольнік — гэта трохвугольнік, у якім адзін вугал прамы (гэта значыць складае 90 градусаў).

Прамавугольны трохвугольнік

Суадносіны паміж бакамі і вугламі прамавугольнага трохвугольніка ляжаць у аснове трыганаметрыі.

Звязаныя азначэнні

• Бок, супрацьлеглы да прамога вугла, называецца гіпатэнузай (бок c на малюнку вышэй).
• Бакі, прылеглыя да прамога вугла, называюцца катэтамі. Бок a можа быць ідэнтыфікаваны як прылеглы да вугла B і процілеглы да вугла A, а бок b — як прылеглы да вугла A і процілеглы да В.

Тыпы прамавугольных трохвугольнікаў

• Калі даўжыні ўсіх трох бакоў прамавугольнага трохвугольніка з'яўляюцца цэлымі лікамі, то трохвугольнік завецца піфагоравым трохвугольнікам, а даўжыні яго бакоў утвараюць так званую піфагораву тройку.

Прыкметы роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў

• Па двух катэтах

Калі катэты аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэтам іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

• Па катэтах і вострым вугле

Калі катэт і прылеглы да яго востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэту і прылегламу да яго востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

• Па гіпатэнузе і вострым вугле

Калі гіпатэнуза і востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя гіпатэнузе і востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

• Па гіпатэнузе і катэту

Калі гіпатэнуза і катэт аднаго прамавугольнага трохвугольніка роўныя гіпатэнузе і катэту іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

Уласцівасці

Далей мяркуем, што $a$ і $b$ даўжыні катэтаў, а $c$ даўжыня гіпатэнузы

• (Тэарэма Піфагора)

  $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

• Плошча прамавугольнага трохвугольніка роўная палове здабытку двух яго катэтаў. Гэта значыць,

• $S={\tfrac {1}{2}}ab.$

• Для медыян $m_{a}$, $m_{b}$ і $m_{c}$ выконваюцца наступныя суадносіны:

• $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.$

• • У прыватнасці, медыяна, якая падае на гіпатэнузу, роўная палове гіпатэнузы.

Вышыня

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка.

Калі вышыня праведзена з вяршыні з прамым вуглом да гіпатэнузы, то трохвугольнік дзеліцца на два меншыя трохвугольнікі, падобныя зыходнаму і падобныя адзін аднаму. З гэтага вынікае:

• Вышыня ёсць сярэдняе геаметрычнае (сярэдняе прапарцыянальнае) двух сегментаў гіпатэнузы.

• Кожны катэт трохвугольніка ёсць сярэдняе прапарцыянальнае гіпатэнузы і сумежных сегментаў.

• Справядлівыя суадносіны:

$\displaystyle f^{2}=de,$ (часам гэта называюць тэарэмай вышыні прамавугольнага трохвугольніка)

$\displaystyle b^{2}=ce,$

$\displaystyle a^{2}=cd,$

дзе a, b, c, d, e, f паказаныя на дыяграме. Такім чынам:

$f={\frac {ab}{c}}.$

• Вышыня, апушчаная на гіпатэнузу, звязана з катэтамі прамавугольнага трохвугольніка суадносінамі:

  ${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.$

Іншыя ўласцівасці

Радыус упісанай акружнасці ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі $m_{a}$, $m_{b}$ і гіпатэнузай $m_{c}$ роўны:

$r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.$

Калі адрэзкі даўжынёй $p$ і $q$, выходныя з вяршыні C, дзеляць гіпатэнузу на тры роўныя адрэзкі даўжыні c/3, то:^{:pp. 216-217}

$p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.$

Прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца адзіным трохвугольнікам з двума, а не трыма, упісанымі квадратамі, якія адрозніваюцца адзін ад аднаго.

Хай h і s (h>s) — бакі двух квадратаў, упісаных у прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай c. Тады:

${\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.$

Перыметр прамавугольнага трохвугольніка роўны суме радыусаў упісанай і трох апісаных акружнасцей.

Спасылкі

• Calculator for right triangles Архівавана 30 верасня 2017.
• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.. http://www.archive.org/details/atextbookgeomet10wentgoog.