Рад Ларана — двухбаковы бясконцы ступеневы рад па цэлых ступенях над полем камплексных лікаў:

дзе

Гэты рад з'яўляецца сумай двух радоў:

  1. неадмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца правільнай і
  2. адмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца галоўнай.

Пры гэтым рад Ларана лічыцца збежным тады і толькі тады, калі сыходзяцца яго правільная і галоўная часткі. Гэтыя рады названы так у гонар французскага матэматыка П. А. Ларана.

УласцівасціПравіць

  • Калі нутро вобласці збежнасці рада Ларана непустое, то яно ўяўляе сабой кругавое кольца
 
  • Ва ўсіх пунктах свайго кольца збежнасці   рад Ларана сыходзіцца абсалютна;
  • Як і для ступеневых радоў, паводзіны рада Ларана ў пунктах межавых акружнасцей кольца збежнасці могуць быць самымі разнастайнымі;
  • На любым кампактным падмностве   рад збягаецца раўнамерна;
  • Сума рада Ларана ў   ёсць аналітычная функцыя  ;
  • Рад Ларана можна дыферэнцаваць і інтэграваць у   пачленна;
  • Раскладанне ў рад Ларана адзінае, гэта значыць калі сумы двух радоў Ларана супадаюць у  , то супадаюць і ўсе каэфіцыенты гэтых радоў.
  • Каэфіцыенты   рада Ларана вызначаюцца праз яго суму   формуламі
 
дзе  ,  ,   — любая акружнасць з цэнтрам a, размешчаная ўсярэдзіне кольца збежнасці.

Тэарэма ЛаранаПравіць

Прымяненне радоў Ларана заснавана галоўным чынам на наступнай тэарэме Ларана:

Любую адназначную аналітычную функцыю   у колцы   можна прадставіць у   збежным радам Ларана.

У тым ліку, у праколатым наваколлі

 

ізаляванага асаблівага пункта   адназначная аналітычная функцыя   прадстаўляецца радам Ларана, які служыць асноўным інструментам даследавання яе паводзін у наваколлі ізаляванага асаблівага пункта.

Тып асаблівага пункта вызначаецца галоўнай часткай рада Ларана ў праколатым наваколлі гэтага пункта:

  • Скасавальны асаблівы пункт — галоўная частка рада Ларана роўная 0.
  • Полюс — галоўная частка змяшчае канечны лік ненулявых членаў.
  • Істотна асаблівы пункт — галоўная частка змяшчае бясконцую колькасць ненулявых членаў.

ЛітаратураПравіць

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.