Адкрыць галоўнае меню
Вынікі дадавання членаў рада Фур'е пры прыбліжэнні разрыўнай кавалкава-пастаяннай функцыі

Рад Фур'е — прадстаўленне адвольнай функцыі з перыядам у выглядзе рада

Гэты рад можна таксама запісаць у відзе

дзе

— амплітуда k-га гарманічнага вагання,
— кругавая частата гарманічнага вагання,
— пачатковая фаза k-га вагання,
k-я камплексная амплітуда.

У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента гільбертавай прасторы называецца раскладанне гэтага элемента па артаганальнаму базісу. Існуе мноства сістэм артаганальных функцый: Уолша, Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і згортцы функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Трыганаметрычны рад Фур'еПравіць

Трыганаметрычным радам Фур'е функцыі   называюць функцыянальны рад віду

 
(1)

дзе

 
 
 

Лікі  ,   і   ( ) называюцца каэфіцыентамі Фур'е функцыі  . Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю   у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты  ,   і  . Калі дамножыць правую частку (1) на   і праінтэграваць па прамежку  , дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент  . Гэтак жа для  .

Рад (1) збягаецца к функцыі   у прасторы  . Іншымі словамі, калі абазначыць праз   частковыя сумы рада (1):

 

то іх сярэднеквадратычнае адхіленне ад функцыі   будзе імкнуцца к нулю:

 

Нягледзячы на сярэднеквадратычную збежнасць, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім прастору   камплесназначных функцый са скалярным здабыткам

 .

Таксама разгледзім сістэму функцый

 

Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю   можна раскласці па іх у рад Фур'е:

 

дзе рад у правай частцы збягаецца к   па норме ў   Тут

 

Каэфіцыенты   звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:

 
 
 
  • Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні   і   не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

АбагульненніПравіць

Рады Фур'е ў гільбертавай прасторыПравіць

Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка прасторы   з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя артаганальная сістэма   ў гільбертавай прасторы   і   — адвольны элемент з  . Дапусцім, трэба прадставіць   у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў  :

 

Дамножым гэты выраз на  . З улікам артаганальнасці сістэмы функцый   усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры n = k:

 

Паслядоўнасць лікаў

 

называецца каардынатамі, ці каэфіцыентамі Фур'е элемента   па сістэме  , а рад

 

называецца радам Фур'е элемента   па артаганальнай сістэме  .

Рад Фур'е любога элемента   па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы  , але яго сума не абавязкова роўная  . Для ортанармаванай сістэмы   у сепарабельнай гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

  • сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
  • сістэма з'яўляецца поўнай, г. зн. у   не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам   адначасова.
  • сістэма з'яўляецца замкнутай, г. зн. для любога   справядліва роўнасць Парсеваля
     
  • лінейныя камбінацыі элементаў   шчыльныя ў прасторы  .

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента   роўная яго артаганальнай праекцыі на замыканне лінейнай абалонкі элементаў   У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва няроўнасць Беселя:

 

Дваістасць ПантрагінаПравіць

Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са згорткаю — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на лакальна-кампактных абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

Збежнасць рада Фур'еПравіць

 
Збежнасць рада Фур'е

Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'еПравіць

Абазначым праз   частковыя сумы рада Фур'е функцыі  :

 

Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый   к функцыі   у розных сэнсах. Функцыя   лічыцца  -перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку  , яе можна перыядычна працягнуць).

  • Калі  , то паслядоўнасць   збягаецца к функцыі   у сэнсе  . Акрамя таго,   з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў  ) прыбліжэннем функцыі   трыганаметрычным мнагачленам ступені не больш за  .
  • Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце   — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі   і   супадаюць у некаторым наваколлі  , то паслядоўнасці   і   альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
  • Калі функцыя   дыферэнцавальная ў пункце  , то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к  . Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі   задаюцца прыкметаю Дзіні.
  • Функцыя, непарыўная ў пункце  , можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к  . Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у   функцыі   паслядоўнасць   збягаецца па Чэзара к  .
  • Калі функцыя   разрыўная ў пункце  , але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева  , то пры некаторых дадатковых умовах   збягаюцца к  . Падрабязней гл. мадыфікаваную прыкмету Дзіні.
  • Тэарэма Карлесана: калі  , то яе рад Фур'е збягаецца к ёй амаль усюды. Гэта верна і калі  . Аднак, існуюць функцыі з  , чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
  • Возьмем пункт  . Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам першай катэгорыі ў прасторы  . У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыіПравіць

Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа  , а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:

  • Каэфіцыенты Фур'е любой інтэгравальнай функцыі імкнуцца да нуля (лема Рымана — Лебега[en]).
  • Калі функцыя   належыць класу  , г. зн. дыферэнцавальная k разоў і яе k-я вытворная непарыўная, то  
  • Калі рад   збягаецца абсалютна, то   пры ўсіх  .
  • Калі функцыя належыць класу Гёльдэра з паказчыкам  , та рад   збягаецца абсалютна (тэарэма Бернштэйна).
  • Калі  , то функцыя   з'яўляецца аналітычнаю. Справядліва і адваротнае.

Гл. таксамаПравіць

ЛітаратураПравіць

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
  • Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.