Размеркаванне Пуасона

Размеркава́нне Пуасо́на — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей выпадковай велічыні з цэлалікавымі неадмоўнымі значэннямі, якое апісвае імавернасць здарэння пэўнай колькасці падзей за акрэслены прамежак часу пры ўмове, што падзеі здараюцца з нязменнай сярэдняй частатой і незалежна ад таго, калі здарылася папярэдняя падзея[2].

Размеркаванне Пуасона
Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне , [1]:82
Параметры — частата
Носьбіт функцыі[en] (Натуральныя лікі з нулём)
Функцыя імавернасці
Функцыя размеркавання

або або

(для дзе верхняя няпоўная гама-функцыя[en], цэлая частка[en], а рэгулярызаваная гама-функцыя[en])
Матэматычнае спадзяванне
Медыяна
Мода
Дысперсія
Каэфіцыент асіметрыі
Каэфіцыент эксцэсу
Энтрапія[en]

  або для вялікіх

Утваральная функцыя момантаў[en]
Характарыстычная функцыя[en]
Імавернасная ўтваральная функцыя
Інфармацыя Фішэра[en]

Напрыклад, кругласутачны кол-цэнтр прымае ў сярэднім 180 званкоў на гадзіну. Званкі незалежныя, то бок тое, калі здарыцца наступны званок не залежыць ад таго, калі быў папярэдні, і імавернасць атрымаць званок не залежыць ад часу дня. Тады колькасць званкоў, атрыманых за хвіліну, будзе мець размеркаванне Пуасона з частатой 3. Хутчэй за ўсё за хвіліну будзе 2 ці 3 званкі, але 1 ці 4 таксама верагодныя значэнні. Ёсць невялікая імавернасць атрымаць 0 званкоў і зусім маленькая таго, што іх будзе 10 ці больш.

Гісторыя

правіць

Размеркаванне атрымана Сімеонам Дэні Пуасонам у 1873 годзе пры вывядзенні прыбліжанай формулы біномнага размеркавання для вялікага ліку выпрабаванняў. У сваёй працы Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (1837) ён разважаў над колькасцю несправядлівых абвінавачванняў, выкарыстоўваючы пэўныя выпадковыя велічыні  , якія сярод іншага апісвалі колькасць здарэнняў цягам зададзенага прамежку часу[3]:205-207. Аналагічны вынік ужо быў атрыманы ў 1711 годзе Абрахамам дэ Муаўрам у De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus[4][5][6][7]. Такім чынам, назва размеркавання — прыклад выканання закона Стыглера[en], і некаторыя аўтары сцвярджаюць, што размеркаванне мусіць мець імя дэ Муаўра[8].

У 1860 годзе Сайман Ньюкам[en] выкарыстаў размеркаванне Пуасона для ацэнкі колькасці зорак на адзінку прасторы[9]. У 1898 годзе Ладзіслаус Барткевіч[en] прымяняў размеркаванне каб даведацца колькі салдат прускай арміі гіне выпадкова ад конскіх удараў[10].

Азначэнне

правіць

Кажуць, што дыскрэтная выпадковая велічыня   мае размеркаванне Пуасона з параметрам   калі яе функцыя імавернасці мае выгляд:

 

дзе

  •   — колькасць здарэнняў падзеі ( )
  •   — лік Эйлера ( )
  •   — фактарыял.

Вывядзенне

правіць

Каб вывесці функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, увядзём функцыю   — імавернасць таго, што за прамежак часу даўжынёй   (у некаторых адзінках вымярэння, што неістотна для вывядзення) адбудзецца   падзей, пры гэтым падзеі незалежныя.

Разаб’ём прамежак на часткі   настолькі маленькія, што імавернасцю здарэння дзвюх ці больш падзей за   можна пагрэбаваць   Пры гэтым дапусцім, што   а   Гэта значыць, што за час   здараецца ў сярэднім   падзей, то бок   выконвае ролю частаты.

Каб атрымаць функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, трэба знайсці   — імавернасць здарэння   падзей за адзінку часу. Для пачатку можна знайсці   і метадам матэматычнай індукцыі абагульніць гэты вынік на іншыя  .

Карыстаючыся незалежнасцю падзей, заўважым, што

 

Перапішам гэтую роўнасць наступным чынам:

 

Пераходзячы цяпер да ліміту   атрымліваем дыферэнцыяльнае раўнанне

 

Развязаць раўнанне можна праінтэграваўшы абедзве часткі:

 

Імавернасць таго, што ніводнай падзеі не здарыцца за нулявы прамежак часу роўная 1, то бок павінна выконвацца ўмова[en]   Падстаўляючы   у развязанне дыферэнцыяльнага раўнання і карыстаючыся ўмовай, знаходзім   Такім чынам,  

Цяпер разгледзім выпадак   Існуе два варыянты, пры якіх за інтэрвал   можа здарыцца   падзей:

  1. за інтэрвал   здарылася   падзей, і ніводнай за  
  2. за інтэрвал   здарылася   падзея, і адна за  

Запішам гэта ў выглядзе роўнасці і пераўтворым у дыферэнцыяльнае раўнанне аналагічна папярэдняму выпадку:

 
 
 

Дамножым абедзве часткі на   і скарыстаемся правілам здабытку[en] для вытворных:

 
 
 

Выкарыстоўваючы гэтае раўнанне, прыменім метад матэматычнай індукцыі. Дапусцім,  . Справядлівасць гэтага сцверджання ўжо прадэманстравана для   што дае нам базу індукцыі.

Для  

 
 
 

Заўважым, што павінна выконвацца роўнасць   таму   Такім чынам, крок індукцыі даказаны, а значыць   мае месца для ўсіх цэлых  

Для адзінкі часу   атрымліваем   — функцыю імавернасці размеркавання Пуасона[11].

Характарыстыкі

правіць

Матэматычнае спадзяванне

правіць

Матэматычнае спадзяванне размеркавання Пуасона можна знайсці, скарыстаўшыся адным з азначэнняў паказнікавай функцыі[1]:118-119:

 
 

Дысперсія

правіць

Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з размеркаваннем Пуасона[1]:119:

 
 

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:

 

Выкарыстанне

правіць

У тэарэтыка-імавернасных мадэлях размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца як прыбліжанае і як дакладнае размеркаванне.

Напрыклад, калі пры n незалежных выпрабаваннях падзеі A1, ..., An назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю p, то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-небудзь k падзей прыбліжана выражаецца функцыяй pk(np) (гл. тэарэма Пуасона). У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс радыеактыўнага распаду і іншыя фізічныя з’явы.

Як дакладнае, размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца ў тэорыі выпадковых працэсаў, напрыклад, пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць незалежныя выпадковыя велічыні, якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Пуасона.

Зноскі

  1. а б в Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
  2. Haight, Frank A. (1967). Handbook of the Poisson Distribution. New York, NY, US: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-33932-8.
  3. Poisson, Siméon D. (1837). Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités [Research on the Probability of Judgments in Criminal and Civil Matters](фр.). Paris, France: Bachelier.
  4. de Moivre, Abraham (1711). "De mensura sortis, seu, de probabilitate eventuum in ludis a casu fortuito pendentibus" [On the Measurement of Chance, or, on the Probability of Events in Games Depending Upon Fortuitous Chance]. Philosophical Transactions of the Royal Society(лац.). 27 (329): 213–264. doi:10.1098/rstl.1710.0018.
  5. de Moivre, Abraham (1718). The Doctrine of Chances: Or, A Method of Calculating the Probability of Events in Play. London, Great Britain: W. Pearson. ISBN 9780598843753.
  6. de Moivre, Abraham (1721). "Of the Laws of Chance". In Motte, Benjamin (рэд.). The Philosophical Transactions from the Year MDCC (where Mr. Lowthorp Ends) to the Year MDCCXX. Abridg'd, and Dispos'd Under General Heads(лац.). Vol. I. London, Great Britain: R. Wilkin, R. Robinson, S. Ballard, W. and J. Innys, and J. Osborn. pp. 190–219.
  7. Johnson, Norman L.; Kemp, Adrienne W.; Kotz, Samuel (2005). "Poisson Distribution". Univariate Discrete Distributions (3rd ed.). New York, NY, US: John Wiley & Sons, Inc. pp. 156–207. doi:10.1002/0471715816. ISBN 978-0-471-27246-5.
  8. Stigler, Stephen M. (1982). "Poisson on the Poisson Distribution". Statistics & Probability Letters. 1 (1): 33–35. doi:10.1016/0167-7152(82)90010-4.
  9. Newcomb, Simon (1860). "Notes on the theory of probabilities". The Mathematical Monthly. 2 (4): 134–140.
  10. von Bortkiewitsch, Ladislaus (1898). Das Gesetz der kleinen Zahlen [The law of small numbers](ням.). Leipzig, Germany: B.G. Teubner. pp. 1, 23–25.
    На старонцы 1 Барткевіч апісвае размеркаванне Пуасона.
    На старонках 23-25, Барткевіч прыводзіць прыклад «4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preußischen Heere Getöteten.» [4. Прыклад: Забітыя конскім ударам салдаты Прускай арміі.]
  11. Glen Cowan[en]. Derivation of the Poisson distribution (англ.) (1 снежня 2009).

Літаратура

правіць