Адкрыць галоўнае меню
Ступенныя функцыі з рознымі паказчыкамі ступені

Ступе́нная, або ступе́невая[1] фу́нкцыяфункцыя выгляду , дзе (паказчык, або паказчык ступені) — некаторы рэчаісны лік[2]. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду , дзе k — нейкі множнік расцяжэння[3]. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з'яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.

Змест

Рэчаісная ступенная функцыяПравіць

Абсяг вызначэнняПравіць

  • Калі паказчык ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля).
  • Калі  , дзе   - узаемна простыя лікі,   - няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных x (магчыма, акрамя нуля).
  • У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры   (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
  • Калі  , то функцыя вызначана таксама і пры  .
  • Пры   нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

Рацыянальны паказчык ступеніПравіць

Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд T абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю A яе арбіты наступным чынам:   (паўкубічная парабала).

УласцівасціПравіць

  • Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.

Напрыклад, функцыя   вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная   у нулі не вызначана.

  • На прамежку   функцыя манатонна нарастае пры   і манатонна спадае пры  . Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
  • Вытворная:

 .

  • Першаісная:
    • Калі  , то  
    • Калі  , маем  

Камплексная ступенная функцыяПравіць

У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай z азначаецца як[4]:

 

Тут паказчык ступені c — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне   роўнае  , дзе k — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае  .

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў. Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:

  1. Пры натуральным паказчыку ступені функцыя   адназначная і n-лістная[5].
  2. Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб  , то функцыя будзе мець q розных значэнняў[4].

КрыніцыПравіць

  1. Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001. с. 330.
  2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций.
  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  4. 4,0 4,1 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527.
  5. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.

ЛітаратураПравіць

Гл. таксамаПравіць

СпасылкіПравіць