Ступенная функцыя

Ступе́нная, або ступе́невая фу́нкцыя — функцыя выгляду $y=x^{a}$, дзе $a$ (паказчык, або паказчык ступені) — некаторы рэчаісны лік. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду $y=kx^{a}$, дзе k — нейкі множнік расцяжэння. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з’яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.

Ступенныя функцыі з рознымі паказчыкамі ступені

Рэчаісная ступенная функцыя

Абсяг вызначэння

• Калі паказчык ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля).
• Калі $a={\frac {p}{q}}$, дзе $p,q$ — узаемна простыя лікі, $q>0$ — няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных x (магчыма, акрамя нуля).
• У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры $x>0$ (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
• Калі $a>0$, то функцыя вызначана таксама і пры $x=0$.
• Пры $a<0$ нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

Рацыянальны паказчык ступені

• Графікі ступеннай функцыі пры натуральным паказчыку n называюцца парабаламі парадку n. Пры $a=1$ атрымліваецца лінейная функцыя $y=kx$, называная прамой прапарцыйнай залежнасцю.
• Графікі функцый выгляду $y=x^{-n}$, дзе n — натуральны лік, называюцца гіпербаламі парадку n. Пры $a=-1$ атрымліваецца функцыя $y={\frac {k}{x}}$, называная адваротнай прапарцыйнай залежнасцю.
• Калі $a={\frac {1}{n}}$, то функцыя ёсць арыфметычным коранем ступені n.

Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд T абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю A яе арбіты наступным чынам: $T=kA^{3/2}$ (паўкубічная парабала).

• 
  Парабалы парадку n:     $n=0$      $n=1$      $n=2$      $n=3$      $n=4$      $n=5$
• 
  Гіпербалы парадку n:     $n=-1$      $n=-2$      $n=-3$

Уласцівасці

Гл. таксама: Узвядзенне ў ступень

• Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.

Напрыклад, функцыя $y={\sqrt {x}}$ вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная $y={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ у нулі не вызначана.

• На прамежку $(0,\infty )$ функцыя манатонна нарастае пры $a>0$ і манатонна спадае пры $a<0$. Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
• Вытворная:

$\left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}$.

• Першаісная:
  • Калі $a\neq -1$, то $\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C$
  • Калі $a=-1$, маем $\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$

Камплексная ступенная функцыя

Асноўны артыкул: Камплексная ступенная функцыя

У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай z азначаецца як:

$y=z^{c}=e^{c\cdot \operatorname {Ln} (z)}$

Тут паказчык ступені c — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне $i^{i}$ роўнае $e^{-(4k+1){\frac {\pi }{2}}}$, дзе k — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае $e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$.

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў. Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:

1. Пры натуральным паказчыку ступені функцыя $y=z^{n}$ адназначная і n-лістная.
2. Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб ${\frac {p}{q}}$, то функцыя будзе мець q розных значэнняў.

Гл. таксама

• Узвядзенне ў ступень
• Лагарыфм
• Мнагасклад

Літаратура

• Ступе́нная фу́нкцыя // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 223. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).
• Алгебра: вучэб. дапам. для 11-га кл. устаноў агул. сярэд. адукацыі з беларус. мовай навучання Архівавана 27 чэрвеня 2023. / А. П. Кузняцова[і інш.]; пад рэд. праф. Л. Б. Шнэпермана; пер. з рус. мовы Н. М. Алганавай. — 2-е выд., выпр. і дап. — Мінск: Нар. асвета, 2013. — 287 с.: іл. — 16 100 экз. — ISBN 978-985-03-1983-8.
• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5. — С. 208-209.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.
• Степенная фунуция // Большая советская энциклопедия : ([в 30 т.]) / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд.. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978. (руск.)

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Ступенная функцыя