Тэарэ́ма Ба́еса — адна з асноўных тэарэм тэорыі імавернасцей, якая дазваляе падлічыць умоўную імавернасць падзеі пры выкананні іншай, статыстычна звязанай з ёй падзеі. Названа ў гонар Томаса Баеса.

Фармулёўка

правіць

Калі   — поўная група падзей і ўсе  , а   — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то[1]:39

 

Згодна з тэарэмай множання імавернасцей

 

Адсюль праз формулу поўнай імавернасці вынікае, што

 

Інтэрпрэтацыя

правіць

Падзеі   можна інтэрпрэтаваць як гіпотэзы,   — вынік нейкага выпрабавання. Імавернасці   — апрыёрныя[en] (вядомыя або меркаваныя яшчэ перад выпрабаваннем) імавернасці гіпотэз  . Імавернасці   — апастэрыёрныя[en] (вылічаныя пасля выпрабавання) імавернасці. Такім чынам, тэарэма Баеса дазваляе вылічыць апастэрыёрныя імавернасці гіпотэз праз іхнія апрыёрныя імавернасці і ўмоўныя імавернасці  [1]:39.

Прыклад

правіць

Няхай маецца дзве скрыні з шарамі. У першай скрыні 9 белых шароў і 1 чорны, а ў другой скрыні 9 чорных шароў і 1 белы. Спачатку выпадкова выбіраецца адна са скрынь, пасля з яе дастаецца шар (у кожнага шара, як і ў кожнай скрыні, імавернасці выбару роўныя паміж сабой). Вядома, што ў канцы працэдуры быў выбраны чорны шар. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што шар даставаўся з першай скрыні.

Развязанне

правіць

Увядзём наступныя абазначэнні:

  •   — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з першай скрыні».
  •   — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з другой скрыні».
  •   — падзея (вынік выпрабавання) «быў выбраны чорны шар».

З умовы задачы вядомыя апрыёрныя імавернасці  . З колькасці белых і чорных шароў у кожнай скрыні можна падлічыць умоўныя імавернасці  ,  . Патрабуецца знайсці апастэрыёрную імавернасць   — імавернасць выбару першай скрыні, калі вядома, што выняты шар быў чорным.

Скарыстаем тэарэму Баеса:

 
 

Можна падлічыць і апастэрыёрную імавернасць другой гіпотэзы:

 

Такім чынам, перад эксперыментам абедзве гіпотэзы мелі роўную імавернасць (апрыёрныя імавернасці роўныя  , няма падстаў аддаваць перавагу той ці іншай гіпотэзе). Карыстаючыся вынікамі эксперыменту (выманне чорнага шара), мы абнавілі нашую ўпэўненасць у тым, якая з гіпотэз насамрэч адбылася (у другой гіпотэзы апастэрыёрная імавернасць вышэй, чым у першай). Такая працэдура ляжыць у аснове статыстычнага метаду баесавага высноўвання[en].

Зноскі

  1. а б Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.