Тэарэма Эйлера (тэорыя лікаў)

(Пасля перасылкі з Тэарэма Эйлера, тэорыя лікаў)

Тэарэма Эйлера ў тэорыі лікаў абвяшчае:


Калі і узаемна простыя, то , дзе функцыя Эйлера.

Частковым выпадкам тэарэмы Эйлера з'яўляецца малая тэарэма Ферма (пры простым m). У сваю чаргу, тэарэма Эйлера з'яўляецца следствам тэарэмы Лагранжа.

ДоказыПравіць

З дапамогай тэорыі лікаўПравіць

Хай   — усе розныя натуральныя лікі, меншыя   і ўзаемна простыя з ім.

Разгледзім усе магчымыя здабыткі   для ўсіх   ад   да  

Паколькі   ўзаемна просты з   і   ўзаемна просты з  , то і   таксама ўзаемна просты з  , г. зн.   для некаторага  .

Адзначым, што ўсе астачы   пры дзяленні на   розныя. Сапраўды, хай гэта не так, то існуюць такія  , што

 

або

 

Так як   ўзаемна просты з  , то апошняе роўнасць раўнасільная таму , што

  или  .

Гэта супярэчыць таму, што лікі   парамі розныя па модулю  .

Перамножым ўсе параўнанні выгляду  . Атрымаем:

 

або

 .

Паколькі лік   ўзаемна просты з  , то апошняе параўнанне раўнасільнае таму, што

 

или

 

З дапамогай тэорыі групПравіць

Разгледзім мультыплікатыўную групу   абаротных элементаў колцы вылікаў  . Яе парадак роўны   паводле вызначэння функцыі Эйлера. Паколькі лік   ўзаемна просты з  , элемент   у  , які адпавядае яму, з'яўляецца абаротным і належыць  . Элемент   спараджае цыклічную падгрупу, парадак якой, згодна з тэарэме Лагранжа, дзеліць  , адсюль  . ■

Гл. таксамаПравіць