Тэорыя Галуа

Тэорыя Галуа — раздзел алгебры, які дазваляе перафармуляваць пэўныя пытанні тэорыі палёў на мове тэорыі груп, робячы іх у пэўным сэнсе больш простымі. Эварыст Галуа сфармуляваў асноўныя сцвярджэнні гэтай тэорыі ў тэрмінах перастановак каранёў зададзенага мнагачлена (з рацыянальнымі каэфіцыентамі); ён быў першым, хто выкарыстаў тэрмін «група» для апісання мноства перастановак, якое замкнута адносна кампазіцыі і змяшчае тоесную перастаноўку. Больш сучасны падыход да тэорыі Галуа заключаецца ў вывучэнні аўтамарфізмаў пашырэння адвольнага поля пры дапамозе групы Галуа, якая адпавядае гэтаму пашырэнню.

Прыкладанне да класічных задач

Тэорыя Галуа дае адзіны элегантны падыход да рашэння такіх класічных задач як

1. Якія фігуры можна пабудаваць цыркулем і лінейкай?
2. Якія алгебраічныя ўраўненні вырашальныя з дапамогай стандартных алгебраічных аперацый (складанне, адніманне, множанне, дзяленне і здабыванне кораня)?

Сіметрыі каранёў

Сіметрыі каранёў — такія перастаноўкі на мностве каранёў мнагачлена, для якіх любому алгебраічнаму ўраўненню з рацыянальнымі каэфіцыентамі (з некалькімі зменнымі), якому задавальняюць карані, задавальняюць і перастаўленныя карані.

Прыклад: квадратнае ўраўненне

У мнагачлена другой ступені a x² + b x + c ёсць два карані x₁ і x₂, сіметрычныя адносна кропкі x=-b/2a. Магчымыя два варыянты:

• Калі гэтыя карані рацыянальныя, то ўраўненню x-x₁=0 адпавядае толькі адзін корань, і група ўраўнення трывіяльная.
• Калі карані ірацыянальныя, то група змяшчае адзін нетрывіяльны элемент x₁⇔x₂, і ізаморфная $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Больш складаны прыклад

Разгледзім цяпер мнагачлен (x²−5)²−24.

Яго карані: $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Існуе 4! = 24 розныя перастаноўкі каранёў гэтага ўраўнення, але не ўсе яны з'яўляюцца сіметрыямі. Элементы групы Галуа павінны захоўваць любыя алгебраічныя ўраўненні з рацыянальнымі каэфіцыентамі.

Адно з такіх ураўненняў — a+d=0. Паколькі a+c≠0, перастаноўка a→a, b→b, c→d, d→c не ўваходзіць у групу Галуа.

Акрамя таго, можна заўважыць, што (a+b)²=8, але (a+c)²=12. Таму перастаноўка a→a, b→c, c→b, d→d не ўваходзіць у групу.

Канчаткова можна атрымаць, што група Галуа мнагачлена складаецца з чатырох перастановак:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)

(a, b, c, d) → (c, d, a, b)

(a, b, c, d) → (b, a, d, c)

(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

і з'яўляецца чацвярной групай Клейна, ізаморфнай $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

Фармулёўка ў тэрмінах тэорыі палёў

Тэорыя палёў дае больш агульнае вызначэнне групы Галуа як групы аўтамарфізмаў адвольнага пашырэння Галуа. Сярод іншага, на гэтай мове можна сфармуляваць усе сцвярджэнні адносна «сіметрыі» каранёў мнагачлена. А іменна, няхай каэфіцыенты дадзенага мнагачлена належаць полю K. Разгледзім алгебраічнае пашырэнне L поля K каранямі мнагачлена. Тады група Галуа мнагачлена — гэта група аўтамарфізмаў поля L, якія пакідаюць элементы поля K на месцы, г.зн. група Галуа пашырэння $L\supset K$. Напрыклад, у папярэднім прыкладзе была разгледжана група Галуа пашырэння $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q}$.

Яшчэ больш абстрактны падыход да тэорыі Галуа быў распрацаваны Аляксандрам Гротэндзікам у 1960 годзе. Гэты падыход дазваляе прымяніць асноўныя вынікі тэорыі Галуа да любой катэгорыі, якая валодае зададзенымі ўласцівасцямі (напрыклад, існаваннем каздабыткаў і дэкартавых квадратаў). У прыватнасці, гэта дазваляе перанесці вынікі тэорыі Галуа ў тэорыю накрыццяў. Для таго, каб прымяніць гэтую тэорыю да катэгорыі пашырэнняў палёў, патрабуецца вывучэнне ўласцівасцей тэнзарных здабыткаў палёў.

Вырашальныя групы і рашэнне ўраўненняў у радыкалах

Рашэнні полінаміяльнага ўраўнення P(x)=0 выражаюцца ў радыкалах тады і толькі тады, калі група Галуа дадзенага ўраўнення вырашальная.

Для любога n існуе ўраўненне n-й ступені, група Галуа якога ізаморфная сіметрычнай групе S_n, г.зн. складаецца з усіх магчымых перастановак. Паколькі групы S_n пры n> 4 не з'яўляюцца вырашальнымі, існуюць мнагачлены ступені n, карані якіх нельга прадставіць пры дапамозе радыкалаў — тэарэма Абеля-Руфіні.

Гл. таксама

• Вырашальная група

Літаратура

• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.

• Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.(недаступная спасылка)

• Постников М. М. Теория Галуа.(недаступная спасылка) М.: Физматгиз, 1963.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société Mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
• Скопенков А. Б. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
• Lerner L. Galois Theory without abstract algebra.
• Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.