Шчыльнасць імавернасці

Шчыльнасць імавернасці абсалютна непарыўнага размеркавання — функцыя, якая паказвае адносную імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне ў наваколлі[en] некаторага пункту. Напрыклад, калі шчыльнасць імавернасці ў пункце 0 удвая большая за шчыльнасць у пункце 3, то значэнні выпадковай велічыні будуць трапляць у наваколле нуля ўдвая часцей, чым у наваколле тройкі.

Дыяграма размаху[en] і шчыльнасць імавернасці нармальнага размеркавання N(0, σ2). На графіку IQR — міжквартыльны размах[en].

Інтэграл шчыльнасці імавернасці па некаторым прамежку[en] (іншымі словамі, плошча пад графікам шчыльнасці) роўны імавернасці таго, што значэнне выпадковай велічыні будзе ляжаць у гэтым прамежку. Шчыльнасць імавернасці прымае толькі неадмоўныя значэнні, а агульная плошча пад цэлым графікам роўная 1[1]:79.

Прыклад

правіць
 
Візуалізацыя моды, медыяны і матспадзявання на графіку шчыльнасці імавернасці некаторага размеркавання[2].

Няхай існуе бактэрыя, якая жыве ў сярэднім ад 4 да 6 гадзін. Дапусцім, што імавернасць таго, што бактэрыя загіне ў інтэрвале ад 5 да 5.01 гадзіны роўная 0.02 (то бок 2 %), ад 5 да 5.001 гадзіны — 0.002, ад 5 да 5.0001 гадзіны — 0.0002, і гэтак далей. У гэтым выпадку дзель (імавернасць смерці ў інтэрвале)/(працягласць інтэрвалу) роўная   Тады можна сказаць, што шчыльнасць імавернасці смерці бактэрыі ў пункце 5 роўная 2. Каб знайсці імавернасць таго, што бактэрыя загіне ў некаторым невялікім інтэрвале каля 5 гадзін, трэба памножыць даўжыню гэтага інтэрвалу (у гадзінах) на шчыльнасць. Напрыклад, імавернасць таго, што бактэрыя загіне цягам 3 секунд пасля 5 гадзін, роўная  

Трэба заўважыць, што імавернасць будзе дадатнай для інтэрвалаў, у той час як імавернасць таго, што бактэрыя загіне роўна ў 5 гадзін, роўная нулю, хоць і такая падзея гіпатэтычна магчымая. З гэтай прычыны і ўводзіцца паняцце шчыльнасці, звязанае з імавернасцю на інтэрвале.

На практыцы значэнне дачынення паміж імавернасцю і працягласцю інтэрвалу можа змяняцца пры памяншэнні інтэрвалу, а не быць канстантным як у прыкладзе вышэй, таму каб знайсці шчыльнасць у пункце робяць пераход к ліміту

 

дзе   — выпадковая велічыня (напрыклад, час смерці бактэрыі),   — шчыльнасць імавернасці,   — імавернасць таго, што   прыме значэнне ад   да  .

Сувязь з функцыяй размеркавання

правіць
 
Прыклад шчыльнасці імавернасці (зверху) і адпаведнай функцыі размеркавання (знізу)

Адным са спосабаў задання размеркавання выпадковай велічыні ёсць функцыя размеркавання, якая вызначаецца як[1]:70

 

дзе   — выпадковая велічыня,   — імавернасць таго, што   прымае значэнні, меншыя за некаторы рэчаісны лік  .

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання звязаная са шчыльнасцю імавернасці праз роўнасць  . Пры гэтым амаль усюды[en] мае месца роўнасць  , то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання[1]:78-79.

Гл. таксама

правіць

Зноскі

  1. а б в Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
  2. AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 2 April 2015. Праверана 16 March 2015.