Біномнае размеркаванне

Біномнае размеркаванне з параметрамі $n$ і $p$ — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое апісвае колькасць паспяховых зыходаў пры правядзенні $n$ незалежных выпрабаванняў, кожнае з якіх мае два магчымыя зыходы: поспех (з імавернасцю $p$) і няўдача (з імавернасцю $q=1-p$). Кожнае такое выпрабаванне завецца выпрабаваннем Бэрнулі, а шэраг зыходаў — працэсам Бэрнулі. Для аднаго выпрабавання ($n=1$) біномнае размеркаванне адпавядае размеркаванню Бэрнулі^:81. Біномнае размеркаванне ляжыць у падмурку біномнага крытэрыю статыстычнай значнасці.

Біномнае размеркаванне

Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	$B(n,p)$
Параметры	$n\in \{0,1,2,\ldots \}$ – колькасць выпрабаванняў $p\in [0,1]$ – імавернасць поспеху кожнага выпрабавання $q=1-p$ – імавернасць няўдачы выпрабавання
Носьбіт функцыі	$k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ – колькасць паспяховых выпрабаванняў
Функцыя імавернасці	${\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$
Функцыя размеркавання	$\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$ або $I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$ (рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя)
Матэматычнае спадзяванне	$np$
Медыяна	$\lfloor np\rfloor$ або $\lceil np\rceil$
Мода	$\lfloor (n+1)p\rfloor$ або $\lceil (n+1)p\rceil -1$
Дысперсія	$npq$
Каэфіцыент асіметрыі	${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Энтрапія	${\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi enpq)+O\left({\frac {1}{n}}\right)$ у шэнанах. Для натаў, лагарыфм мусіць быць натуральным.
Утваральная функцыя момантаў	$(q+pe^{t})^{n}$
Характарыстычная функцыя	$(q+pe^{it})^{n}$
Імавернасная ўтваральная функцыя	$G(z)=[q+pz]^{n}$
Інфармацыя Фішэра	$g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}$ (для вызначанага $n$)

Біномнае размеркаванне часта выкарыстоўваецца для мадэлявання колькасці «паспяховых» элементаў у выбарцы з вяртаннем памерам $n$ з генеральнай сукупнасці памерам $N$. Калі робіцца адбор без вяртання, выпрабаванні не незалежныя, і мадэляваць такую сітуацыю трэба з дапамогай гіпергеаметрычнага размеркавання. Аднак калі $N$ значна большае за $n$, біномнае размеркаванне добра яго набліжае і таму часта выкарыстоўваецца.

Азначэнне

Функцыя імавернасці

Выпадковая велічыня $X$, якая мая біномнае размеркаванне з параметрамі $n\in \mathbb {N}$ і $p\in [0,1]$ запісваецца як $X\sim B(n,p).$ Імавернасць назірання $k$ поспехаў у $n$ выпрабаваннях Бэрнулі задаецца функцыяй імавернасці:

$p_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

для $k=0,1,2,\dots ,n$, дзе

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

— біномны каэфіцыент, ад якога і паходзіць імя размеркавання. Формула тлумачыцца наступным чынам: імавернасць назірання $k$ поспехаў роўная $p^{k}$, а $n-k$ няўдач адбываюцца з імавернасцю $(1-p)^{n-k}$. Пры гэтым паспяховымі могуць быць якія-кольвек $k$ з шэрагу $n$ выпрабаванняў, і існуе ${\tbinom {n}{k}}$ спалучэнняў з $n$ выпрабаванняў па $k$.

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання для $k\in [0,n]$ мае выгляд:

$F_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},$

дзе $\lfloor k\rfloor$ — цэлая частка ад $k$.

Прыклад

Няхай манетка мае імавернасць 0.3 выпасці рэшкай. Імавернасць пабачыць 4 рэшкі пры яе шасціразовым падкіданні роўная

$p_{B(6,0.3)}(4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.$

Характарыстыкі

Няхай $X\sim B(n,p).$ Тады можна запісаць $X=\sum _{i=1}^{n}X_{i},$ дзе кожная велічыня $X_{i}$ мае размеркаванне Бэрнулі з параметрам $p$ і ўсе $X_{i}$ незалежныя адна ад адной. Ведаючы характарыстыкі размеркавання Бэрнулі $(\mathbb {E} [X_{i}]=p$ і $Var(X_{i})=p(1-p))$, можна знайсці матэматычнае спадзяванне і дысперсію біномнага размеркавання^:118:

$\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} [X_{i}]=np,$

$Var(X)=Var\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})=np(1-p)=npq.$

Сувязь з іншымі размеркаваннямі

Размеркаванне Бэрнулі

Размеркаванне Бэрнулі — асобны выпадак біномнага размеркавання для $n=1$^:81. Іншымі словамі, велічыня $X\sim B(1,p)$ мае такое ж размеркаванне, як і велічыня $X\sim Bernoulli(p).$

Паліномнае размеркаванне

Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага. Яно дазваляе мадэляваць сітуацыі, калі магчымых зыходаў выпрабавання больш за два.