Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду ) — матэматычная функцыя , якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў . Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама Γ(z ) .
Гама-функцыя Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай Першаадкрывальнік
Леанард Эйлер [1] Формула, якая апісвае закон або тэарэму
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left(z\right)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}
[2] [3] Пазначэнне ў формуле
Γ
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {\Gamma } (z)}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
Медыяфайлы на Вікісховішчы
Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці Для натуральных n
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогай збежнага неўласцівага інтэграла :
Γ
(
t
)
=
∫
0
∞
x
t
−
1
e
−
x
d
x
.
{\displaystyle \Gamma (t)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x}\,dx.}
Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы ). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.
Была ўведзена Леанардам Эйлерам , а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру .
Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай Інтэгральнае азначэнне
правіць
Калі рэчаісная частка камплекснага ліку
z
{\displaystyle z}
інтэграл
Γ
(
z
)
=
∫
0
+
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
,
z
∈
C
:
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle ~\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} :\mathrm {Re} (z)>0}
На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle ~\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).}
Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля
Γ
(
z
)
=
1
e
i
2
π
z
−
1
∫
L
t
z
−
1
e
−
t
d
t
,
z
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
.
{\displaystyle ~\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi {\mathrm {z} }}-1}}\int \limits _{L}\!t^{{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
дзе контур
L
{\displaystyle L}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Наступныя выразы з’яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.
Яно вернае для ўсіх камплексных
z
{\displaystyle z}
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
⋯
(
z
+
n
)
,
z
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
Γ
(
z
)
=
1
z
(
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
z
(
1
+
z
n
)
−
1
)
=
1
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
z
1
+
z
n
,
z
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\left(\prod \limits _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{z}{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}^{-1}\right)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
,
z
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
,
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \},}
дзе
γ
=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
ln
n
)
≈
0
,
57722
{\displaystyle \gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722}
пастаянная Эйлера — Маскероні .
Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна , калі рэчаісная частка камплекснага ліку
z
{\displaystyle z}
Прымяняючы інтэграванне па частках , можна паказаць, што тоеснасць
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
справядліва для падынтэгральнага выразу. Паколькі
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
натуральных лікаў
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
⋅
Γ
(
n
)
=
…
=
n
!
⋅
Γ
(
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\cdot \Gamma (n)=\ldots =n!\cdot \Gamma (1)=n!}
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
{\displaystyle z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots }
Звязаныя азначэнні
правіць
Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя , якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).}
У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю , якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:
Γ
(
a
,
z
)
=
∫
z
∞
t
a
−
1
e
−
t
d
t
,
{\displaystyle \Gamma (a,z)=\int \limits _{\mathrm {z} }^{\infty }{t^{a-1}e^{-t}\,dt},}
і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:
γ
(
a
,
z
)
=
∫
0
z
t
a
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }{t^{a-1}e^{-t}\,dt}.}
Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці. Формула дапаўнення Эйлера:
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
π
z
.
{\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}.}
З яе вынікае формула памнажэння Гауса be en
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
n
)
…
Γ
(
z
+
n
−
1
n
)
=
n
1
2
−
n
z
⋅
(
2
π
)
n
−
1
2
Γ
(
n
z
)
,
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\ldots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),}
якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!}
Гама-функцыя мае полюс у
z
=
−
n
{\displaystyle z=-n}
n
{\displaystyle n}
вылік у гэтым пункце задаецца так:
Res
z
=
−
n
Γ
(
z
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{z=-n}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас , верна для ўсіх камплексных
z
{\displaystyle z}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
k
=
1
∞
(
1
+
z
k
)
−
1
e
z
/
k
,
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{z/k},}
дзе
γ
{\displaystyle \gamma }
пастаянная Эйлера — Маскероні . Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
Γ
(
z
)
¯
=
Γ
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})}
Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
Γ
′
(
x
)
=
ψ
(
x
)
Γ
(
x
)
,
{\displaystyle \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x),}
дзе
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
дыгама-функцыяй . Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
Асобныя значэнні
правіць
Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:
Γ
(
1
2
)
=
π
.
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}
Γ
(
1
4
)
=
(
2
π
)
3
/
2
A
G
M
(
2
,
1
)
,
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{3/2}}{AGM({\sqrt {2}},1)}}},}
дзе AGM (x , y )сярэдняе арыфметыка-геаметрычнае (англ.) ( бел. x y
Γ
(
3
2
)
=
π
2
.
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}
Γ
(
1
2
+
n
)
=
(
2
n
)
!
4
n
n
!
π
=
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
π
=
π
⋅
[
(
n
−
1
2
n
)
n
!
]
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}
Γ
(
1
2
−
n
)
=
(
−
4
)
n
n
!
(
2
n
)
!
π
=
(
−
2
)
n
(
2
n
−
1
)
!
!
π
=
π
/
[
(
−
1
2
n
)
n
!
]
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}
Зноскі
Купцов Л. П. Гамма-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М .: Советская энциклопедия. — Т. 1. 
Медыяфайлы на Вікісховішчы
![{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95632da26b256ee27faac11756cdd3d8f837f29)
![{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4208fc44198d0e0c574af736a7e225462499eb8d)