Дыферэнцыял функцыі

Дыферэнцыял (лац.: Differentia - рознасць, адрозненне) - лінейная частка прырашчэння функцыі.

Гісторыя

Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам. Першапачаткова $dx$ ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» - велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

Абазначэнні

Звычайна дыферэнцыял функцыі $f$ пазначаецца $df$. Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню ${\rm {d}}f$ шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з'яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы $x_{0}$ пазначаецца $d_{x_{0}}f$, а часам $df[x_{0}]$, а таксама $df$, калі значэнне $x_{0}$ ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы $x_{0}$ ад $h$ можа пазначацца як $d_{x_{0}}f(h)$, а часам $df[x_{0}](h)$, а таксама $df(h)$, калі значэнне $x_{0}$ ясна з кантэксту.

Выкарыстанне знака дыферэнцыяла

• Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла $\int f(x)\,dx$. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял $dx$ уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
• Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$. Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі $f$ і аналагічнай функцыі $x$ верныя суадносіны
• :$d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.$

Вызначэнне

Для функцый

Дыферэнцыял функцыі $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ у кропцы $x_{0}\in \mathbb {R}$ можа быць вызначаны як лінейная функцыя

$d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,$

дзе $f'(x_{0})$ абазначае вытворную $f$ у кропцы $x_{0}$.

Такім чынам $df$ ёсць функцыя двух аргументаў $df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)$.

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя $d_{x_{0}}f(h)$, якая лінейна залежыць ад $h$, і для якой верныя наступныя суадносіны

$d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(|h|).$

Для адлюстраванняў

Дыферэнцыялам адлюстравання $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ у кропцы $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ называюць лінейны аператар $d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ такі, што выконваецца ўмова

$d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(|h|).$

Звязаныя вызначэння

• Адлюстраванне $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ называецца дыферэнцуемым у кропцы $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ калі вызначаны дыферэнцыял$d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$.

Уласцівасці

• Матрыца лінейнага аператара $d_{x_{0}}f$ роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з'яўляюцца частковыя вытворныя.

*Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.

• Дыферэнцыял функцыі $f$ звязаны з яе градыентам $\nabla f$ наступнымі вызначальнымі суадносінамі

$d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

• Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з'яўляюцца узаемазваротнымі.

Варыяцыі і абагульненні

• Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
• Знешні дыферэнцыял
• Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
• Вытворная Пеано
• Вытворная Фрэшэ

Літаратура

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»