Размеркаванне Пуасона

Размеркава́нне Пуасо́на — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей выпадковай велічыні з цэлалікавымі неадмоўнымі значэннямі, якое апісвае імавернасць здарэння пэўнай колькасці падзей за акрэслены прамежак часу пры ўмове, што падзеі здараюцца з нязменнай сярэдняй частатой і незалежна ад таго, калі здарылася папярэдняя падзея.

Размеркаванне Пуасона

Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	$\operatorname {Pois} (\lambda )$, $\Pi (\lambda )$:82
Параметры	$\lambda \in (0,\infty )$ — частата
Носьбіт функцыі	$k\in \mathbb {N} _{0}$ (Натуральныя лікі з нулём)
Функцыя імавернасці	${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$
Функцыя размеркавання	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},$ або $e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},$ або $Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$ (для $k\geq 0,$ дзе $\Gamma (x,y)$ — верхняя няпоўная гама-функцыя, $\lfloor k\rfloor$ — цэлая частка, а $Q$ — рэгулярызаваная гама-функцыя)
Матэматычнае спадзяванне	$\lambda$
Медыяна	$\approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor$
Мода	$\left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor$
Дысперсія	$\lambda$
Каэфіцыент асіметрыі	${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\frac {1}{\lambda }}$
Энтрапія	$\lambda {\Bigl [}1-\log(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$   або для вялікіх $\lambda$   ${\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}$
Утваральная функцыя момантаў	$\exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]$
Характарыстычная функцыя	$\exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]$
Імавернасная ўтваральная функцыя	$\exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]$
Інфармацыя Фішэра	${\frac {1}{\lambda }}$

Напрыклад, кругласутачны кол-цэнтр прымае ў сярэднім 180 званкоў на гадзіну. Званкі незалежныя, то бок тое, калі здарыцца наступны званок не залежыць ад таго, калі быў папярэдні, і імавернасць атрымаць званок не залежыць ад часу дня. Тады колькасць званкоў, атрыманых за хвіліну, будзе мець размеркаванне Пуасона з частатой 3. Хутчэй за ўсё за хвіліну будзе 2 ці 3 званкі, але 1 ці 4 таксама верагодныя значэнні. Ёсць невялікая імавернасць атрымаць 0 званкоў і зусім маленькая таго, што іх будзе 10 ці больш.

Гісторыя

Размеркаванне атрымана Сімеонам Дэні Пуасонам у 1873 годзе пры вывядзенні прыбліжанай формулы біномнага размеркавання для вялікага ліку выпрабаванняў. У сваёй працы Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (1837) ён разважаў над колькасцю несправядлівых абвінавачванняў, выкарыстоўваючы пэўныя выпадковыя велічыні $N$, якія сярод іншага апісвалі колькасць здарэнняў цягам зададзенага прамежку часу^:205-207. Аналагічны вынік ужо быў атрыманы ў 1711 годзе Абрахамам дэ Муаўрам у De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus. Такім чынам, назва размеркавання — прыклад выканання закона Стыглера, і некаторыя аўтары сцвярджаюць, што размеркаванне мусіць мець імя дэ Муаўра.

У 1860 годзе Сайман Ньюкам выкарыстаў размеркаванне Пуасона для ацэнкі колькасці зорак на адзінку прасторы. У 1898 годзе Ладзіслаус Барткевіч прымяняў размеркаванне каб даведацца колькі салдат прускай арміі гіне выпадкова ад конскіх удараў.

Азначэнне

Кажуць, што дыскрэтная выпадковая велічыня $X$ мае размеркаванне Пуасона з параметрам $\lambda >0,$ калі яе функцыя імавернасці мае выгляд:

$p_{X\sim \Pi (\lambda )}(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },$

дзе

• $k$ — колькасць здарэнняў падзеі ($k=0,1,2,\ldots$)
• $e$ — лік Эйлера ($e=2.71828\ldots$)
• $!$ — фактарыял.

Вывядзенне

Каб вывесці функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, увядзём функцыю $P(n;t)$ — імавернасць таго, што за прамежак часу даўжынёй $t$ (у некаторых адзінках вымярэння, што неістотна для вывядзення) адбудзецца $n$ падзей, пры гэтым падзеі незалежныя.

Разаб’ём прамежак на часткі $\delta t$ настолькі маленькія, што імавернасцю здарэння дзвюх ці больш падзей за $\delta t$ можна пагрэбаваць $(P(2;\delta t)\approx 0).$ Пры гэтым дапусцім, што $P(1;\delta t)=\lambda \delta t,$ а $P(0;\delta t)=1-\lambda \delta t.$ Гэта значыць, што за час $t$ здараецца ў сярэднім $\lambda \delta t\cdot (t/\delta t)=\lambda t$ падзей, то бок $\lambda$ выконвае ролю частаты.

Каб атрымаць функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, трэба знайсці $P(n;1)$ — імавернасць здарэння $n$ падзей за адзінку часу. Для пачатку можна знайсці $P(0;t)$ і метадам матэматычнай індукцыі абагульніць гэты вынік на іншыя $n$.

Карыстаючыся незалежнасцю падзей, заўважым, што

$P(0;t+\delta t)=P(0;t)\cdot P(0;\delta t)=P(0;t)\cdot (1-\lambda \delta t).$

Перапішам гэтую роўнасць наступным чынам:

${\frac {P(0;t+\delta t)-P(0;t)}{\delta t}}=-\lambda P(0;t).$

Пераходзячы цяпер да ліміту $\delta t\to 0,$ атрымліваем дыферэнцыяльнае раўнанне

${\frac {d}{dt}}P(0;t)=-\lambda P(0;t).$

Развязаць раўнанне можна праінтэграваўшы абедзве часткі:

$P(0;t)=Ce^{-\lambda t}.$

Імавернасць таго, што ніводнай падзеі не здарыцца за нулявы прамежак часу роўная 1, то бок павінна выконвацца ўмова $P(0;0)=1.$ Падстаўляючы $t=0$ у развязанне дыферэнцыяльнага раўнання і карыстаючыся ўмовай, знаходзім $C=1.$ Такім чынам, $P(0;t)=e^{-\lambda t}.$

Цяпер разгледзім выпадак $n>0.$ Існуе два варыянты, пры якіх за інтэрвал $t+\delta t$ можа здарыцца $n$ падзей:

1. за інтэрвал $t$ здарылася $n$ падзей, і ніводнай за $\delta t;$
2. за інтэрвал $t$ здарылася $n-1$ падзея, і адна за $\delta t.$

Запішам гэта ў выглядзе роўнасці і пераўтворым у дыферэнцыяльнае раўнанне аналагічна папярэдняму выпадку:

$P(n;t+\delta t)=P(n;t)\cdot (1-\lambda \delta t)+P(n-1;t)\cdot \lambda \delta t;$

${\frac {P(n;t+\delta t)-P(n;t)}{\delta t}}+\lambda P(n;t)=\lambda P(n-1;t);$

${\frac {d}{dt}}P(n;t)+\lambda P(n;t)=\lambda P(n-1;t).$

Дамножым абедзве часткі на $e^{\lambda t}$ і скарыстаемся правілам здабытку для вытворных:

$e^{\lambda t}{\frac {d}{dt}}P(n;t)+\lambda e^{\lambda t}P(n;t)=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).$

$e^{\lambda t}{\frac {d}{dt}}P(n;t)+P(n;t){\frac {d}{dt}}e^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).$

${\frac {d}{dt}}(e^{\lambda t}P(n;t))=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).$

Выкарыстоўваючы гэтае раўнанне, прыменім метад матэматычнай індукцыі. Дапусцім, $P(n;t)={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}$. Справядлівасць гэтага сцверджання ўжо прадэманстравана для $n=0,$ што дае нам базу індукцыі.

Для $n>0:$

${\frac {d}{dt}}(e^{\lambda t}P(n+1;t))=\lambda e^{\lambda t}P(n;t)=\lambda e^{\lambda t}{\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}={\frac {\lambda ^{n+1}t^{n}}{n!}};$

$e^{\lambda t}P(n+1;t)={\frac {(\lambda t)^{n+1}}{(n+1)!}}+C;$

$P(n+1;t)={\frac {(\lambda t)^{n+1}}{(n+1)!}}e^{-\lambda t}+Ce^{-\lambda t}.$

Заўважым, што павінна выконвацца роўнасць $P(n+1;0)=0,$ таму $C=0.$ Такім чынам, крок індукцыі даказаны, а значыць $P(n;t)={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}$ мае месца для ўсіх цэлых $n\geq 0.$

Для адзінкі часу $t=1$ атрымліваем $P(n;1)={\frac {(\lambda )^{n}}{n!}}e^{-\lambda }$ — функцыю імавернасці размеркавання Пуасона.

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Матэматычнае спадзяванне размеркавання Пуасона можна знайсці, скарыстаўшыся адным з азначэнняў паказнікавай функцыі^:118-119:

$\mathbb {E} [X]=\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=e^{-\lambda }\left(0+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}\right)=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=$

$=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }=\lambda .$

Дысперсія

Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з размеркаваннем Пуасона^:119:

$\mathbb {E} [X^{2}]=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=\lambda e^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}=$

$=\lambda e^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\lambda e^{\lambda }=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}.$

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:

$Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=\lambda +\lambda ^{2}-\lambda ^{2}=\lambda .$

Выкарыстанне

У тэарэтыка-імавернасных мадэлях размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца як прыбліжанае і як дакладнае размеркаванне.

Напрыклад, калі пры n незалежных выпрабаваннях падзеі A₁, ..., A_n назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю p, то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-небудзь k падзей прыбліжана выражаецца функцыяй p_k(np) (гл. тэарэма Пуасона). У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс радыеактыўнага распаду і іншыя фізічныя з’явы.

Як дакладнае, размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца ў тэорыі выпадковых працэсаў, напрыклад, пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць незалежныя выпадковыя велічыні, якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Пуасона.

Літаратура

• Пуасона размеркаванне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 13: Праміле — Рэлаксін / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2001. — Т. 13. С. 114—115.