Вікіпедыя

Рад (матэматыка): Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі
[недагледжаная версія][недагледжаная версія]
Наступная праўка →
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
ВізуальнаВікіразметка
Artificial123 (размовы | уклад)
35 631 праўка
Новая старонка: ''''Рад''' — гэта лікавая паслядоўнасць, разгляданая разам з іншай паслядоўнасць|паслядо...'
 
Няма тлумачэння праўкі
Радок 1:
Простымі словамі, '''рад''' — гэта ўпарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай [[паслядоўнасць, матэматыка|бесканечнай паслядоўнасці]]. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.
'''Рад''' — гэта [[лікавая паслядоўнасць]], разгляданая разам з іншай [[паслядоўнасць|паслядоўнасцю]], якая завецца паслядоўнасць частковых сум (раду).
 
Няхай <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> — [[лікавая паслядоўнасць]]. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя члены знакам плюс (+), атрымаем выраз выгляду:
Разглядаюцца лікавыя рады двух відаў
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots,</math>
які і называецца '''лікавым радам''' з членамі <math>c_1, c_2, \dots, c_n, \dots.</math><ref>Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 124.</ref>
 
Будзем казаць, што рад
* рэчісныя лікавыя рады — вывучаюцца ў [[матэматычны аналіз|матэматычным аналізе]];
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>
комплексныя лікавыя рады — вывучаюцца ў [[комплексны аналіз|комплексным аналізе]];
мае суму, калі існуе [[граніца паслядоўнасці]] <math>(s_n)_{n=1}^\infty</math> яго частковых сум
:<math>s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n.</math>
Гэта граніца
:<math>s = \lim_{n\to \infty} s_n</math>
і называецца '''сумай рада'''<ref>Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125.</ref>.
 
Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца '''збежным''', а ва ўсіх астатніх выпадках — '''разбежным'''<ref>Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125.</ref>.
Найважнейшае пытанне даследавання лікавых радоў — гэта [[збежнасць]] лікавых шэрагаў.▼
 
Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі [[сума|сумы]] і [[граніца паслядоўнасці|гранічнага пераходу]].
Лікавыя рады ўжываюцца ў якасці сістэмы набліжэнняў да лікаў.
 
У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:
== Вызначэнне ==
* лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з'яўляюцца лікі ([[рэчаісны лік|рэчаісныя]] і [[камплексны лік|камплексныя]]);
* функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з'яўляюцца розныя функцыі;
 
▲Найважнейшае пытанне даследавання лікавых радоў — гэта іх [[збежнасць радоў|збежнасць]] лікавых шэрагаў.
 
Адно з галоўных прымяненняў лікавых радоў — прыбліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, прыбліжаныя значэнні такіх [[ірацыянальны лік|ірацыянальных лікаў]], як [[Лік e|e]] і [[Пі|{{pi}}]], можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.
 
== Азначэнне ==
 
Няхай <math>\{a_i\}_{i=1}^{\infty}</math> — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць
Радок 20 ⟶ 35:
: <math>s_k=\sum_{i=1}^{k}a_i.</math>
 
Наогул, для абазначэння радурада выкарыстоўваецца знак
 
: <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_i,</math>
 
паколькібо тут паказанаяпаказана зыходная паслядоўнасць элементаў радурада, а таксама правіла сумавання.
 
У адпаведнасці з гэтым гаворыццакажуць аб збежнасці лікавага радурада:
 
* лікавы рад ''сыходзіцца'', калі сыходзіцца паслядоўнасць яго частковых сум;
Радок 32 ⟶ 47:
* лікавы рад ''сыходзіцца абсалютна'', калі сыходзіцца рад з модуляў яго членаў.
 
Калі лікавы рад сыходзіцца, то мяжаграніца <math>S</math> паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву [[сума раду|сумы радурада]]:
 
: <math>S=\sum_{i=1}^{\infty}a_i,</math>
Радок 43 ⟶ 58:
* Іх здабыткам па Кашы называецца рад <math>\sum c_n</math>, дзе <math> c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}</math>
 
Калі абодва рады сыходзяцца, то іх сума сыходзіцца, калі абодва рады сыходзяцца абсалютна, то іх сума сыходзіцца абсалютна. Калі хоць бы адзін з радоў сыходзіцца абсалютна, то здабытак радоў сыходзіцца.
 
== Крытэрый абсалютнай збежнасці ==
 
Лікавы (рэчаісны ці комплексныкамплексны) рад <math>\sum_{k=1}^\infty a_k </math> называецца абсалютна збежным, калі сыходзіцца рад <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math>.
 
Рад <math>\,a_k</math> сыходзіцца абсалютна тады і толькі тады, калі сыходзяцца абодва дадатныхдадатныя рады <math>\,b_k</math> і <math>\,c_k.</math>, дзе <math>\,a_k = b_k - c_k, \left|a_k\right| = b_k + c_k, b_k \geqslant 0, c_k \geqslant 0, \forall k.</math>
----
Доказ. Калі сыходзіцца \<math>\sum \left|a_k\right|,</math>, то па прызнаку параўнання тым больш сыходзяцца <math>\,b_k</math> і <math>\,c_k.</math>. Наадварот, калі сыходзяцца <math>\,b_k</math> і <math>\,c_k,</math>, то сыходзіцца і іх сума <math>\sum \left|a_k\right|.</math>
 
== Гл. таксама ==
 
* [[Сума раду]]
* [[Функцыянальны рад]]
* [[Ступеневы рад]]
* [[Рад Фур'е]]
 
{{зноскі}}
== Літаратура ==▼
 
▲== Літаратура ==
* Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
* {{кніга
|аўтар = {{nobr|В. А. Зорич}}
Радок 71 ⟶ 88:
|isbn =
}}
 
* ''Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.''
* Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063 — 1070.
 
{{math-stub}}
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Рад_(матэматыка)"