Розніца паміж версіямі "Частковая вытворная"

др
няма тлумачэння праўкі
др
{{Значэнні|Вытворная}}
 
У '''[[матэматычны аналіз|матэматычным аналізе''']] '''частковая вытворная'''  — адно з абагульненняў паняцця [[Вытворная функцыі|вытворнай]] на выпадак функцыі некалькіх зменных.
 
У відавочнымяўным выглядзе прыватнаячастковая вытворная функцыі <math>f</math> у кропцы <math>(a_1,a_2,\ldots, a_n)</math> вызначаецца наступным чынам:
 
: <math>\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots , a_n)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_k+\Delta x,\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_k,\ldots,a_n)}{\Delta x}.</math>
[[Файл:Grafico 3d x2+xy+y2.png|міні|Графік функцыі {{nowrap|''z'' {{=}} ''x''² + ''xy'' + ''y''²}}. Частковая вытворная ў кропцы {{nowrap|(1, 1, 3)}} пры пастаянным ''y'' адпавядае вуглевуглу нахілу [[датычная|датычнай прамой]], паралельнай плоскасці ''xz''.]]
 
[[Файл:X2+x+1.png|міні|Сячэнні графіка, які намаляванынамаляванага вышэй, плоскасцю {{nowrap|''y'' {{=}} 1}}]]
 
== Абазначэнне ==
 
Варта звярнуць увагу, што абазначэнне <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> вартатрэба разумець як ''цэльны'' сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай {{nowrap|<math>\frac{d f}{d x},</math>,}}, якую можна ўявіцьпрадставіць, як адносіныадносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргументуаргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіныадносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: <math>\frac{\partial f}{\partial x} \equiv= \frac{d_x f}{d x}</math>, дзе {{nowrap|<math>d_x f</math> —}} частковы дыферэнцыял функцыі <math>f</math> па зменнай <math>x</math>. Часта неразуменне фактуфакта цэльнасці сімвала <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне <math>\partial x</math> ў выразе <math>\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}</math>. <ref>Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»</ref>.
 
== Геаметрычная інтэрпрэтацыя ==
[[Файл:Cone 3d.png|міні|Аб'ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы]]
 
[[Аб'ём]] V [[конус]]у залежыць ад [[Вышыня трохвугольніка|вышыні]] h і [[Радыус|радыусурадыуса]] r, згодна з формулай
 
: <math>V = \frac{\pi r^2 h}{3},</math>
 
Частковая вытворная аб'ёму V адносна радыусурадыуса r
 
: <math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math>
 
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конусуконуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб'ёму <math>m^3</math>, а вымярэнні даўжыні <math>m</math>, то вышэйназваная вытворная будзе мець памернасцьразмернасць хуткасці вымярэннязмянення аб'ёму <math>m^3/m</math>, г.зн. зменазмяненне велічыні радыусурадыуса на 1 м будзе адпавядаць зменезмяненню аб'ёму конусуконуса на <math>\frac{ 2 \pi r h}{3}</math> <math>m^3</math>.
 
Частковая вытворная адносна h
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h}</math>
 
Адрозненне паміж поўнай і прыватнайчастковай вытворнай  — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.
 
Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конусу застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванымфіксаванай дачыненні даадносіне k,
 
: <math>k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.</math>
 
{{зноскі}}
 
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне]]