Вікіпедыя

Рад Тэйлара: Розніца паміж версіямі

Інтэрактыўны прагляд гісторыі
[дагледжаная версія][недагледжаная версія]
← Папярэдняя праўкаНаступная праўка →
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
ВізуальнаВікіразметка
Artificial123 (размовы | уклад)
35 631 праўка
Пераклаў расеізмы на беларускую
Радок 2:
[[File:Exp series.gif|right|thumb|[[Паказчыкавая функцыя]] (блакітная крывая), і сума першых ''n''+1 членаў яе рада Тэйлара ў пункце 0 (чырвоная крывая).]]
 
У [[матэматыка|матэматыцы]], '''радшэраг Тэ́йлара''' — прадстаўленне [[функцыя|функцыі]] ў выглядзе [[рад, матэматыка|бесканечнайбясконцай сумы]] ступенных складнікаў, лікавыя каэфіцыенты пры якіх вылічваюцца праз значэнні [[вытворная функцыі|вытворных функцыі]] ў нейкім пэўным пункце:
:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k.</math>
 
Ідэя радоўшэрагаў Тэйлара была фармальна ўведзена англійскім матэматыкам [[Брук Тэйлар|Брукам Тэйларам]] у 1715 годзе. Калі радшэраг Тэйлара будуецца ў пункце {{math|''x''<sub>0</sub> {{=}} 0}}, выгляд радашэрага спрашчаецца:
:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k.</math>
Такія радышэрагі называюцца '''радамішэрагамі Маклорэна''', у гонар шатландскага матэматыка [[Колін Маклорэн|Коліна Маклорэна]], які шырока выкарыстоўваў гэты асобны выпадак у 18-м стагоддзі.
 
Адно з галоўных прымяненняў радоўшэрагаў Тэйлара — прыбліжэнне функцый. На практыцы, каб прыбліжана вылічыць значэнне функцыі, бяруць некаторы канечныканчатковы лік складнікаў радашэрага (па сутнасці, замяняючы радшэраг так званым '''мнагачленам Тэйлара'''). Пры гэтым колькасныя ацэнкі пагрэшнасці атрымліваюцца з [[тэарэма Тэйлара|тэарэмы Тэйлара]]. РадШэраг Тэйлара функцыі ёсць [[граніца паслядоўнасці]] мнагачленаў Тэйлара гэтай функцыі пры нарастанні іх ступеней. Функцыя можа не быць роўнай свайму радушэрагу Тэйлара, нават калі ён збягаецца ва ўсіх пунктах. Функцыі, роўныя свайму радушэрагу Тэйлара ў [[адкрыты прамежак|адкрытым прамежку]] (або ў адкрытым крузе на [[камплексная плоскасць|камплекснай плоскасці]]), называюцца ''[[аналітычная функцыя|аналітычнымі]]''.
 
==Азначэнне==
Няхай ''ƒ''(''x'') — некаторая рэчаісна- ці камплексназначная функцыя, [[бясконца дыферэнцавальная функцыя|бясконца дыферэнцавальная]] ў [[рэчаісны лік|рэчаісным]] ці [[камплексны лік|камплексным]] пункце ''a''.
 
Тады '''радшэраг Тэйлара''' функцыі ''ƒ''(''x'') у пункце ''a'' — гэта [[ступенны рад]], пабудаваны наступным чынам:
:<math>f(a)+\frac{f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots, </math>
што з дапамогай знака сумы можна запісаць як
:<math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}.</math>
дзе ''n''! — [[фактарыял]] ліку ''n'', а ''ƒ''<sup>&nbsp;(''n'')</sup>(''a'') — значэнне ''n''-ай [[вытворная функцыі|вытворнай функцыі]] ''ƒ'' у пункце ''a''. Па азначэнню, вытворная функцыі ''ƒ'' нулявога парадку ёсць сама функцыя, а {{nowrap|(''x'' &minus; ''a'')<sup>0</sup>}} і 0! абодва роўныя 1. У выпадку {{nowrap|''a'' {{=}} 0}} радшэраг таксама называецца '''радамшэрагам Маклорэна'''.
 
==Прыклады==
РадШэраг Маклорэна для любога [[мнагачлен]]а супадае з самім мнагачленам.
 
РадШэраг Маклорэна для {{nowrap|(1 &minus; ''x'')<sup>&minus;1</sup>}} у ''x'' = 0 ёсць [[геаметрычны рад]]
 
:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots\!</math>
 
такім чынам, радшэраг Тэйлара для ''x''<sup>&minus;1</sup> у {{nowrap|''a'' {{=}} 1}}:
 
:<math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!</math>
 
Інтэгруючы вышэйпрыведзены радшэраг Маклорэна, атрымліваем рад Маклорэна для {{nowrap|log(1 &minus; ''x'')}}, дзе log абазначае [[натуральны лагарыфм]]:
 
:<math>-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots\!</math>
 
і адпаведны радшэраг Тэйлара для log(''x'') у {{nowrap|''a'' {{=}} 1}}:
 
:<math>(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\!</math>
 
а ў агульным выпадку, адпаведны радшэраг Тэйлара для log(''x'') у некаторым пункце <math>a = x_{0}</math> мае выгляд:
 
: <math> \log ( x_0 ) + \frac{1}{x_0} ( x - x_0 ) - \frac{1}{x_0^2}\frac{( x - x_0 )^2}{2} + \cdots.</math>
 
РадШэраг Тэйлара для [[паказчыкавая функцыя|паказчыкавай функцыі]] e<sup>''x''</sup> у ''a''&nbsp;= 0 такі:
 
:<math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Рад_Тэйлара"