Рад Тэйлара: Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [недагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
др removed Category:Рэчаісны аналіз using HotCat |
Пераклаў расеізмы на беларускую |
||
Радок 2:
[[File:Exp series.gif|right|thumb|[[Паказчыкавая функцыя]] (блакітная крывая), і сума першых ''n''+1 членаў яе рада Тэйлара ў пункце 0 (чырвоная крывая).]]
У [[матэматыка|матэматыцы]], '''
:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k.</math>
Ідэя
:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k.</math>
Такія
Адно з галоўных прымяненняў
==Азначэнне==
Няхай ''ƒ''(''x'') — некаторая рэчаісна- ці камплексназначная функцыя, [[бясконца дыферэнцавальная функцыя|бясконца дыферэнцавальная]] ў [[рэчаісны лік|рэчаісным]] ці [[камплексны лік|камплексным]] пункце ''a''.
Тады '''
:<math>f(a)+\frac{f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots, </math>
што з дапамогай знака сумы можна запісаць як
:<math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}.</math>
дзе ''n''! — [[фактарыял]] ліку ''n'', а ''ƒ''<sup> (''n'')</sup>(''a'') — значэнне ''n''-ай [[вытворная функцыі|вытворнай функцыі]] ''ƒ'' у пункце ''a''. Па азначэнню, вытворная функцыі ''ƒ'' нулявога парадку ёсць сама функцыя, а {{nowrap|(''x'' − ''a'')<sup>0</sup>}} і 0! абодва роўныя 1. У выпадку {{nowrap|''a'' {{=}} 0}}
==Прыклады==
:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots\!</math>
такім чынам,
:<math>1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!</math>
Інтэгруючы вышэйпрыведзены
:<math>-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4-\cdots\!</math>
і адпаведны
:<math>(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\!</math>
а ў агульным выпадку, адпаведны
: <math> \log ( x_0 ) + \frac{1}{x_0} ( x - x_0 ) - \frac{1}{x_0^2}\frac{( x - x_0 )^2}{2} + \cdots.</math>
:<math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>
|