Бесканечнасць: Розніца паміж версіямі
| [дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
дапаўненне на аснове матем. энц. в 5 т. |
др афармленне |
||
Радок 1:
{{Знак|<math> \infty </math>}}
'''Бескане́чнасць''' (абазначаецца як ∞)
Паняцце бесканечнасці выкарыстоўваецца ў аналітычных і геаметрычных тэорыях для абазначэння «няўласных» ці «бесканечна аддаленых» элементаў, у [[тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]] і [[матэматычная логіка|матэматычнай логіцы]] пры вывучэнні «[[бесканечнае мноства|бесканечных мностваў]]», а таксама ў іншых раздзелах матэматыкі.
У канцы [[XIX стагоддзе|XIX]]
== Сімвал ==
Радок 34:
== Гісторыя агульнага паняцця бесканечнасці ==
Бесканечнае і канечнае
Бесканечнае характарызуе неабмежаваную разнастайнасць прасторавых структур [[матэрыя|матэрыі]], яе уласцівасцей і ўзаемасувязей, колькасную невычарпальнасць у глыбіню, існаванне бесканечнага мноства якасна розных узроўняў яе структурнай арганізацыі.
Радок 43:
Толькі [[Мікалай Кузанскі]] і [[Джардана Бруна]] ў 15—16 стст. зноў загаварылі пра бесканечнасць свету.
Канечнае з'яўляецца адмаўленнем бесканечнага і ўяўляе сабой усякі абмежаваны ў [[прастора|прасторы]] і [[час]]е аб'ект.
Усякая канкрэтная якасць у свеце канечная, існуе ў пэўных межах меры. Канечнае азначае таксама абмежаванасць і часовасць зямнога быцця наогул, у гэтым значэнні яно дапускае прынцыповую магчымасць далейшага, незямнога быцця.
Радок 49:
1) Прадстаўленне аб бесканечна малых і бесканечна вялікіх пераменных велічынях з'яўляецца адным з асноўных у матэматычным аналізе.
Папярэдняя сучаснаму падыходу да паняцця бесканечна малой канцэпцыя, па якой канечныя велічыні складаліся з бесканечна вялікага ліку бесканечна малых «непадзельных» (гл. метад «непадзельных»), трактаваць не як зменныя, а як пастаянныя і меншыя любой канечнай велічыні, можа служыць адным з прыкладаў незаконнага адрыву бесканечнага ад канечнага:
рэальны сэнс мае толькі раскладанне канечных велічынь на неабмежавана нарастаючы лік неабмежавана меншаючых складнікаў.
2) Зусім у іншай лагічнай абстаноўцы бесканечнасць паяўляецца ў матэматыцы ў выглядзе «няўласных» бесканечна аддаленых геаметрычных вобразаў (гл. бесканечна аддаленыя элементы).
Радок 58:
Аналагічны характар мае папаўненне сістэмы рэчаісных лікаў двума «няўласнымі» лікамі <math>+\infty</math> і <math>-\infty</math>, якое адпавядае многім запытам аналізу і тэорыі функцый рэчаіснага пераменнага.
Можна падысці з такой жа пункта гледжання і к папаўненню рада натуральных лікаў 1, 2, 3,
У сувязі з адрозненнем паміж пераменнымі бесканечна малымі і бесканечна вялікімі велічынямі, з аднаго боку, і «няўласнымі» бесканечна вялікімі лікамі, якія разглядаюцца як пастаянныя,
У гэтым першапачатковым разуменні (аб іншым, сучасным разуменні, гл. ніжэй) спрэчку паміж прыхільнікамі патэнцыяльнай і актуальнай бесканечнасці можна лічыць закончанай.
Бесканечна малыя і бесканечна вялікія, якія ляжаць у аснове азначэння [[вытворная|вытворнай]] (як адносіны бесканечна малых) і [[інтэграл]]а (як сумы бесканечна вялікага ліку бесканечна малых) і прымыкаючых сюды канцэпцый матэматычнага аналізу, павінны ўспрымацца як «патэнцыяльныя».
Нараўне з гэтым у належнай лагічнай абстаноўцы ў матэматыку цалкам заканамерна ўваходзяць і «актуальныя» бесканечна вялікія «няўласныя» лікі (і нават у многіх розных аспектах: як колькасныя і парадкавыя [[трансфінітны лік|трансфінітныя лікі]] ў [[тэорыя мностваў|тэорыі мностваў]], як няўласныя элементы <math>+\infty</math> і <math>-\infty</math> сістэмы рэчаісных лікаў і т. д.).
У матэматыцы прыходзіцца мець справу з двума спосабамі далучэння да лікавай сістэме бесканечных «няўласных» элементаў.
а) З праектыўнага пункта гледжання на прамой знаходзіцца адна «бесканечна аддаленая кропка».
У звычайнай метрычнай сістэме каардынат гэтай кропцы натуральна прыпісаць [[абсцыса|абсцысу]] <math>\infty</math>.
Такое ж далучэнне да лікавай сістэмы адной бесканечнасці без знака ўжываецца ў [[тэорыя функцый камплекснага пераменнага|тэорыі функцый камплекснага пераменнага]].
У элементарным аналізе пры вывучэнні [[рацыянальная функцыя|рацыянальных функцый]] ''f''(''x'') = ''P''(''x'')/''Q''(''x''),
дзе ''P''(''x'') і ''Q''(''x'')
Для няўласнага элемента <math>\infty</math> устанаўліваюццца такія правілы дзеянняў:
: <math>\infty + a = \infty,</math> калі ''a'' канечнае;
: <math>\infty + \infty</math> не мае сэнсу;
: <math>\infty \cdot a = \infty,</math> калі <math>a \ne 0</math>;
: <math>\infty \cdot 0</math> не мае сэнсу.
Няроўнасці з удзелам <math>\infty</math> не разглядаюцца: бессэнсоўна пытацца, больш ці менш <math>\infty</math>, чым канечнае ''a''.
Радок 83:
Тады можна прыняць, што <math>-\infty < a < +\infty</math> для любога канечнага ''a'', і захаваць асноўныя ўласцівасці няроўнасцей ў пашыранай лікавай сістэме.
Для <math>+\infty</math> і <math>-\infty</math> устанаўліваюцца такія правілы дзеянняў:
: <math>(+\infty) + a = +\infty,</math> если <math>a \ne -\infty</math>;
: <math>(-\infty) + a = -\infty,</math> если <math>a \ne +\infty</math>;
: <math>(+\infty) + (-\infty)</math> пазбаўлена сэнсу;
: <math>(+\infty) \cdot a = +\infty,</math> калі <math>a > 0</math>;
: <math>(+\infty) \cdot a = -\infty,</math> калі <math>a < 0</math>;
: <math>(-\infty) \cdot a = -\infty,</math> калі <math>a > 0</math>;
: <math>(-\infty) \cdot a = +\infty,</math> калі <math>a < 0</math>;
: <math>(+\infty) \cdot 0</math> и <math>(-\infty) \cdot 0</math> не маюць сэнсу.
3) Асноўная цікавасць, але і асноўныя цяжкасці матэматычнага вучэння аб бесканечнасці засяроджваюцца на пытанні аб прыродзе бесканечных мностваў матэматычных аб'ектаў.
Радок 101:
Справа ў тым, што бесканечныя сістэмы матэматычных аб'ектаў (напрыклад, [[натуральныя лікі|натуральных]] або [[рэчаісныя лікі|рэчаісных лікаў]]) ніколі не задаюцца простым пералікам, як гэта магчыма для канечных сістэм аб'ектаў.
Было б відавочным абсурдам меркаваць, што хто-небудзь «утварыў» мноства натуральных лікаў, пералічыўшы іх фактычна «ўсе» адзін за адным. На самай справе мноства натуральных лікаў вывучаюць, зыходзячы з працэсу ўтварэння яго элементаў пераходам ад ''n'' да ''n''+1.
У выпадку [[кантынуум, тэорыя мностваў|кантынуума]] рэчаісных лікаў ужо разгляд аднаго яго элемента
У гэтым іменна сэнсе сама бесканечнасць [[натуральныя лікі|натуральнага рада]], або сістэмы ўсіх рэчаісных лікаў (кантынуума), можа характарызавацца як бесканечнасць толькі «патэнцыяльная».
Радок 144:
; У філасофіі
* Бесканечнае і канечнае // {{Крыніцы/БелЭн|3к}} С. 127.
* Кармин А. С.
* Бурова И. Н.
* Жуков Н. И.
== Спасылкі ==
{{Commons|Category:Infinity|выгляд=міні}}
* [http://www.ega-math.narod.ru/Singh/Cantor.htm Георг Кантар і нараджэнне тэорыі трансфінітных мностваў]. {{ref-ru}}
* [http://www.youtube.com/watch?v=V1N5pCAgUzU To Infinity and Beyond
{{Матэматычныя знакі}}
| |||